Вычисление пределов (x^2 + 4x - 21)/(x^2 - 9) при x→5 и x→∞

Давайте подробно разберём оба указанных предела функции:

1) Предел при x → 5:
Рассмотрим выражение:

(x^2 + 4x - 21) / (x^2 - 9)

Подставим x = 5:

Числитель:   5^2 + 4*5 - 21 = 25 + 20 - 21 = 24
Знаменатель: 5^2 - 9      = 25 - 9 = 16

Значит,

lim (x → 5) (x^2 + 4x - 21) / (x^2 - 9) = 24 / 16 = 3/2

Ответ: предел при x → 5 равен 3/2.

2) Предел при x → ∞:
Аналогично рассмотрим:

(x^2 + 4x - 21) / (x^2 - 9)

По мере роста x, x^2 становится намного больше остальных членов, поэтому мы можем поделить числитель и знаменатель на x^2:

(x^2 + 4x - 21) / (x^2 - 9) = [x^2/x^2 + 4x/x^2 - 21/x^2] / [x^2/x^2 - 9/x^2]
                          = [1 + 4/x - 21/x^2] / [1 - 9/x^2]

При x → ∞, члены 4/x, 21/x^2 и 9/x^2 стремятся к нулю:

lim (x → ∞) [1 + 0 - 0] / [1 - 0] = 1 / 1 = 1

Ответ: предел при x → ∞ равен 1.

Вывод:

• Предел при x → 5: 3/2
• Предел при x → ∞: 1