|x| - 1 + x^2 > 1, x ≤ 2|x| — решение задачи

Рассмотрим двойное неравенство:

|x| - 1 + x^2 > 1,  x ≤ 2|x|

Решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдём их пересечение.
1. Разбираемся с первым неравенством:
|x| - 1 + x^2 > 1
Переносим 1 влево: |x| - 1 + x^2 - 1 > 0
|x| + x^2 - 2 > 0
Рассмотрим два случая:

Случай 1. x ≥ 0, тогда |x| = x:
x + x^2 - 2 > 0 → x^2 + x - 2 > 0
Решим квадратное неравенство: Корни уравнения x^2 + x - 2 = 0:

x = [-1 ± √(1 + 8)] / 2 = [-1 ± 3]/2 => x1 = 1, x2 = -2

Так как x ≥ 0, берем только интервал x > 1.
Случай 2. x < 0, тогда |x| = -x:
-x + x^2 - 2 > 0 → x^2 - x - 2 > 0
Корни x^2 - x - 2 = 0:

x = [1 ± √(1 + 8)]/2 = [1 ± 3]/2 => x1 = 2, x2 = -1

Знаем, что парабола вверх, область решения: x < -1 и x > 2.
Но x < 0, значит, берём только x < -1. Промежуточный итог по первому неравенству: x < -1 или x > 1

---

2. Решим второе неравенство:
x ≤ 2|x|
Опять рассмотрим два случая:
Случай 1. x ≥ 0:
x ≤ 2x, переносим x:
0 ≤ x Это верно для всех x ≥ 0 (ограничений нет). Случай 2. x < 0:
x ≤ 2(-x) => x ≤ -2x ⇒ x + 2x ≤ 0 ⇒ 3x ≤ 0 ⇒ x ≤ 0. Но мы и так рассматриваем x < 0, значит x < 0. Итак, x < 0 или x ≥ 0 - для всех значений x выполнено условие x ≤ 2|x| (оно и так верно для всех x).

---

Теперь пересекаем с первым условием:

Т.к. второе условие выполняется для всех x, ответом остаётся решение только первого неравенства:
Ответ: x < -1 или x > 1

Ответ:
Множество решений неравенства:
x < -1 или x > 1