1. Переведите из радианной меры в градусную:
а) 1/12 π =
б) 5/7 π =
в) 7/6 π =
г) 10/3 π =

2. Вычислить с помощью формулы приведения:
а) cos 300°;
б) sin 7π/6;

3. Упростите выражение:
а) cos² t + 1 - sin² t =
б) cos² t - 1 =
в) cos(3π/2 + t) =
г) ctg(270° + t) =

4. Найдите значение выражения:
√2/2 sin(3π/2 - α) - 1/√2 sin(π/2 + α), α = π/4.

5. Решить уравнение:
а) sin 3x = 1/2
б) 2 cos x + √3 = 0
в) 2 sin² x - 3 sin x + 1 = 0

Question

1. Переведите из радианной меры в градусную:
   а) 1/12 π =
   б) 5/7 π =
   в) 7/6 π =
   г) 10/3 π =

2. Вычислить с помощью формулы приведения:
   а) cos 300°;
   б) sin 7π/6;

3. Упростите выражение:
   а) cos² t + 1 - sin² t =
   б) cos² t - 1 =
   в) cos(3π/2 + t) =
   г) ctg(270° + t) =

4. Найдите значение выражения:
   √2/2 sin(3π/2 - α) - 1/√2 sin(π/2 + α), α = π/4.

5. Решить уравнение:
   а) sin 3x = 1/2
   б) 2 cos x + √3 = 0
   в) 2 sin² x - 3 sin x + 1 = 0

Accepted Answer

1. Переведите из радианной меры в градусную:

Формула: чтобы перевести радианы в градусы, умножаем на 180°/π.

а) 1/12 π = (1/12) × 180° = 15°
б) 5/7 π = (5/7) × 180° = (900/7)° ≈ 128,57°
в) 7/6 π = (7/6) × 180° = 210°
г) 10/3 π = (10/3) × 180° = 600°

2. Вычислить с помощью формулы приведения:

а) cos 300°
300° = 360° - 60°, то есть четвёртая четверть.
cos(360° - α) = cos α, знак косинуса в IV четверти «плюс».
cos 300° = cos 60° = 1/2

б) sin 7π/6
7π/6 радиан — это 210° (см. 1.в). Это III четверть.
sin(π + α) = -sin α
7π/6 = π + π/6 => sin(7π/6) = -sin(π/6) = -1/2
sin 7π/6 = -1/2

3. Упростите выражение:

а) cos² t + 1 - sin² t = (cos² t - sin² t) + 1. По основной триг. тождеству: cos² t - sin² t = cos(2t)
Итого:
cos² t + 1 - sin² t = cos(2t) + 1

б) cos² t - 1 = -sin² t

в) cos(3π/2 + t)
3π/2 + t — формула приведения:
cos(3π/2 + t) = sin t (меняем знак, потому что угол в III четверти, у косинуса там минус)
cos(3π/2 + t) = sin t

г) ctg(270° + t)
270° + t = 3π/2 + t. ctg(3π/2 + t) = -tan t (знак минус, так как котангенс в IV четверти отрицателен)
ctg(270° + t) = -tan t

4. Найдите значение выражения:
√2/2 sin(3π/2 - α) - 1/√2 sin(π/2 + α), если α = π/4

Во-первых, найдём значения отдельных синусов.
sin(3π/2 - α) = -cos α
sin(π/2 + α) = cos α
cos(π/4) = √2/2
Подставляем:
√2/2 × ( -cos(π/4) ) - 1/√2 × cos(π/4) =
√2/2 × ( -√2/2 ) - 1/√2 × (√2/2) =
- (√2 × √2)/(2 × 2) - (1 × √2)/(√2 × 2) = -2/4 - 1/2 = -0,5 - 0,5 = -1
Ответ: -1

5. Решить уравнение:

а) sin 3x = 1/2
Значение sin φ = 1/2 при φ = π/6 + 2πn и φ = 5π/6 + 2πn.
То есть:
3x = π/6 + 2πn или 3x = 5π/6 + 2πn
x = π/18 + 2πn/3 или x = 5π/18 + 2πn/3, n ∈ ℤ

б) 2 cos x + √3 = 0
2 cos x = -√3
cos x = -√3/2
cos x = -√3/2 в II и III четвертях при x = 5π/6 + 2πn; x = 7π/6 + 2πn, n ∈ ℤ

в) 2 sin² x - 3 sin x + 1 = 0
Пусть y = sin x:
2y² - 3y + 1 = 0
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант D = 9 - 8 = 1
y₁ = (3 + 1)/4 = 1, y₂ = (3 - 1)/4 = 0.5
sin x = 1 → x = π/2 + 2πn
sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πn и 5π/6 + 2πn
Ответ: x = π/2 + 2πn; x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ

Решение: перевод из радиан в градусы, формулы приведения, упрощения и уравнения

Условие

Ответ

Похожие задачи