Подробное решение уравнений и неравенств с корнями (корень, степень, радикал)

1. Найдите корень уравнения:

А) √(2x - 3) = x - 3
Рассмотрим область определения: x - 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3, и подкоренное выражение неотрицательно: 2x - 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1.5. Значит, x ≥ 3.
Возведём обе части в квадрат:

2x - 3 = (x - 3)^2
2x - 3 = x^2 - 6x + 9
Переносим всё в одну сторону:
x^2 - 8x + 12 = 0

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант D = (-8)^2 - 4*1*12 = 64 - 48 = 16.
Корни:
x₁ = (8 + 4)/2 = 6
x₂ = (8 - 4)/2 = 2

ОBA корня, но x ≥ 3, значит только x = 6 подходит.
Проверка: √(2*6 - 3) = √9 = 3, 6 - 3 = 3 — подходит!
Ответ: x = 6

Б) √(2x² - 9x + 8) = x - 2
Область определения: x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2, 2x² - 9x + 8 ≥ 0.
Найдём нули подкоренного выражения:

2x² - 9x + 8 = 0 
x = [9 ± √(81 - 64)]/4 = [9 ± √17]/4

√17 ~ 4.12, т.е.
x₁ ≈ (9 + 4.12)/4 ≈ 13.12/4 ≈ 3.28
x₂ ≈ (9 - 4.12)/4 ≈ 4.88/4 ≈ 1.22
Парабола ветви вверх, потому выражение ≥0 при x ≤ 1.22 или x ≥ 3.28.
Пересечение с x ≥ 2 даёт x ≥ 3.28.
Возведём обе части уравнения в квадрат:

2x² - 9x + 8 = (x - 2)^2 = x² - 4x + 4
2x² - 9x + 8 - x² + 4x - 4 = 0
x² - 5x + 4 = 0
x₁ = (5 + √(25 - 16))/2 = (5 + 3)/2 = 4
x₂ = (5 - 3)/2 = 1

Проверяем, какие подходят:
- x = 1 не принадлежит нужному промежутку (x ≥ 3.28).
- x = 4: Проверим ODZ — x ≥ 3.28 — подходит.
Ответ: x = 4

2. Решите неравенства:
А) √(x - 1) > 3
ОДЗ: x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
Решим:
√(x - 1) > 3 ⇒ x - 1 > 9 ⇒ x > 10.
С учётом ODZ: x > 10
Ответ: x > 10

Б) √(x² - 4) < x + 2
ОДЗ: x² - 4 ≥ 0 ⇒ x ≤ -2 или x ≥ 2; x + 2 > 0 ⇒ x > -2. Отсюда x ≥ 2.
Для x ≥ 2:
√(x² - 4) < x + 2
Но √(x² - 4) = |x - 2|·√[1], а для x ≥ 2: √(x² - 4) = x - 2
x - 2 < x + 2 ⇒ -2 < 2
Это верно всегда при x ≥ 2, но нужно проверить, когда √(x² - 4) < x + 2.
Подстановка:
При x = 2: √(4 - 4) = 0 < 4 — верно.
Общий вид: x - 2 < x + 2 всегда для x ≥ 2.
Ответ: x ≥ 2

3. Решите уравнение:
А) ∛(2x - 3) = 5
Извлекаем куб:
2x - 3 = 125 ⇒ 2x = 128 ⇒ x = 64
Ответ: x = 64
Б) ∜(2x - 3) = 2
2x - 3 = 2⁴ = 16 ⇒ 2x = 19 ⇒ x = 9.5
Ответ: x = 9.5

4. Верно ли?
А) ∛(-64) = -4 — Да, кубический корень из -64 равен -4.
Ответ: верно
Б) ∜(625) = 5 — 5⁴ = 625, значит четвёртый корень равен 5.
Ответ: верно
В) ⁵√(7776) = 6 — 6⁵ = 7776.
Ответ: верно
Г) ⁵√1 = -1 — (-1)^5 = -1; 1^5 = 1. Пятый корень из 1 равен 1.
Ответ: неверно

5. Найдите значение выражений:
А) ∛512 * ∛216
∛512 = 8, ∛216 = 6, 8*6 = 48.
Ответ: 48
Б) ⁵√32 - ³√125
⁵√32 = 2, ³√125 = 5, 2 - 5 = -3.
Ответ: -3

6. Упростите:
А) ∛(a⁶b⁹)
Корень 3-ей степени: ∛(a⁶b⁹) = a²b³.
Ответ: a²b³
Б) (∜(x³))⁸
∜(x³) = x^(3/4)
(x^(3/4))⁸ = x^{3/4 * 8} = x⁶
Ответ: x⁶
В) ⁵√(32a¹⁰b⁵)
32 = 2⁵, ∴⁵√32 = 2
⁵√(a¹⁰b⁵) = a²b
Ответ: 2a²b


Если нужна дополнительная пояснительная теория по какому-либо пункту — спрашивайте отдельным сообщением!