Решение системы методом треугольника: x - 3y + 2z = 9, 2x + 5y - 3z = 4, 5x + 6y - 2z = 18

Рассмотрим систему уравнений:

1) x - 3y + 2z = 9
2) 2x + 5y - 3z = 4
3) 5x + 6y - 2z = 18

Метод треугольника (метод Гаусса):
Шаг 1. Запишем систему компактно (пронумеруем их для удобства):

• (1): x - 3y + 2z = 9
• (2): 2x + 5y - 3z = 4
• (3): 5x + 6y - 2z = 18

Цель — поочередно исключать переменные, превращая матрицу коэффициентов в треугольную.
Шаг 2. Исключаем x из (2) и (3):
(2) - 2 × (1):

   2x + 5y - 3z = 4
- [2×(x - 3y + 2z) = 2×9 = 18]
-------------------------------
   (2x - 2x) + (5y + 6y) + (-3z - 4z) = 4 - 18
    0x  + 11y  - 7z = -14

↓
(2′): 11y - 7z = -14

(3) - 5 × (1):

   5x + 6y - 2z = 18
- [5×(x - 3y + 2z) = 5×9 = 45]
-------------------------------
   (5x - 5x) + (6y + 15y) + (-2z - 10z) = 18 - 45
    0x  + 21y  -12z = -27

↓
(3′): 21y - 12z = -27

После преобразований:

(1):  x - 3y + 2z = 9
(2′):      11y - 7z = -14
(3′):      21y -12z = -27

Шаг 3. Исключим y из (3′):
Используем (2′) и (3′). Для этого домножим (2′) на 21 и (3′) на 11:

(2′)×21:  231y - 147z = -294
(3′)×11:  231y - 132z = -297
    231y сокращаются

Вычтем второе из первого:

(2′)×21 - (3′)×11:
  (231y - 231y) + (-147z + 132z) = -294 + 297
    0y     -15z = 3

-15z = 3 → z = -3/15 = -1/5
Шаг 4. Найдем y:
Подставим z = -1/5 в (2′):

11y - 7(-1/5) = -14
11y + 7/5 = -14
11y = -14 - 7/5 = (-70/5 - 7/5) = -77/5
11y = -77/5
y = -77/5 ÷ 11 = -77/5 × 1/11 = -7/5

Шаг 5. Найдем x:
Подставим y = -7/5 и z = -1/5 в (1):

x - 3y + 2z = 9
x - 3*(-7/5) + 2*(-1/5) = 9
x + 21/5 - 2/5 = 9
x + 19/5 = 9
x = 9 - 19/5 = (45/5 - 19/5) = 26/5

Ответ:

x = 26/5
y = -7/5
z = -1/5

Проверим:

1. 26/5 - 3*(-7/5) + 2*(-1/5) = 26/5 + 21/5 - 2/5 = (26+21-2)/5 = 45/5 = 9 ✔️
2. 2*26/5 + 5*(-7/5) - 3*(-1/5) = 52/5 -7 + 3/5 = (52+3)/5 - 7 = 55/5 - 7 = 11 - 7 = 4 ✔️
3. 5*26/5 + 6*(-7/5) - 2*(-1/5) = 26 - 42/5 + 2/5 = 26 - (42-2)/5 = 26 - 40/5 = 26 - 8 = 18 ✔️

Решение проведено корректно.