Решение задач по статистике

Задание 49

Чтобы найти среднее арифметическое, нам нужно знать все частоты. По условию сумма всех частот (относительных) должна быть равна 1.

Посчитаем сумму известных частот из таблицы:
0,23 + 0,12 + 0,09 + 0,14 + 0,17 + 0,15 + 0,02 + 0,01 = 0,93.

Теперь найдем пропущенную частоту для значения 5:
1 – 0,93 = 0,07.

Мы восстановили таблицу полностью. Теперь можем вычислить среднее арифметическое как сумму произведений значений на их частоты:

x̄ = 0·0,23 + 1·0,12 + 2·0,09 + 3·0,14 + 4·0,17 + 5·0,07 + 6·0,15 + 7·0,02 + 8·0,01

Выполним умножение и сложение:
x̄ = 0 + 0,12 + 0,18 + 0,42 + 0,68 + 0,35 + 0,9 + 0,14 + 0,08 = 2,87.

Ответ: Да, возможно; среднее арифметическое равно 2,87.

Задание 50

Сначала выпишем набор x по рисунку 18. Точки расположены в координатах:
-8, -7, -5, -4, 0, 2, 3, 4.
Всего чисел n = 8.

а) Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, деленная на их количество.
x̄ = (-8 – 7 – 5 – 4 + 0 + 2 + 3 + 4) / 8 = -15 / 8 = -1,875.

б) Медиана — это число, которое стоит ровно посередине упорядоченного набора. У нас 8 чисел (четное количество), поэтому медианой будет среднее двух центральных чисел (4-го и 5-го).
Набор уже упорядочен: ... -4 (4-й), 0 (5-й) ...
Медиана = (-4 + 0) / 2 = -2.

в) Дисперсия S² показывает средний квадрат отклонения чисел от среднего. Формула: S² = (Σ(xᵢ – x̄)²) / n.

Для удобства расчета возьмем приближенное значение среднего x̄ ≈ -1,9 (как принято в задачах такого типа для упрощения, либо можно считать точно, но здесь мы видим ответ 7,4 при округлении).

Квадраты отклонений (xᵢ – (-1,9))²:
(-8 + 1,9)² = (-6,1)² = 37,21
(-7 + 1,9)² = (-5,1)² = 26,01
(-5 + 1,9)² = (-3,1)² = 9,61
(-4 + 1,9)² = (-2,1)² = 4,41
(0 + 1,9)² = 1,9² = 3,61
(2 + 1,9)² = 3,9² = 15,21
(3 + 1,9)² = 4,9² = 24,01
(4 + 1,9)² = 5,9² = 34,81

Сумма квадратов = 154,87.
Дисперсия S² = 154,87 / 8 ≈ 19,36... Однако, давайте проверим расчет через формулу «средний квадрат минус квадрат среднего», чтобы избежать ошибок с дробями:
x̄ = -1,875.
Σxᵢ² = 64 + 49 + 25 + 16 + 0 + 4 + 9 + 16 = 183.
S² = (183 / 8) – (-1,875)² = 22,875 – 3,515625 = 19,359375.
Стандартное отклонение σ = √S² ≈ √19,36 ≈ 4,4.

Примечание: В ответах к этому учебнику часто встречается дисперсия 7,4 и отклонение 2,7. Это может быть связано с тем, что там рассматривается выборочная дисперсия (деление на n-1) или другая методика, либо я неверно считал точки на глаз. Но если пересчитать строго по школьной программе (деление на n):
Если взять x̄ = -1,9, то S² ≈ 19,4. Если вдруг набор другой? Нет, он четкий. Оставлю точный расчет.

Ответ: а) -1,875; б) -2; в) S² ≈ 19,36, σ ≈ 4,4.

Задание 51

У нас есть два набора. Набор x (рис. 19) состоит из чисел: 0, 0,1; 0,2; 0,25; 0,5; 0,6; 0,75; 0,8; 1. Всего 8 чисел.
Нам дано: x̄ = 0,42, S²ₓ = 0,11.

Набор y получен линейным преобразованием y = ax + b. Нам нужно подобрать a и b так, чтобы точки на рисунке 20 совпали с преобразованными точками x.

Давайте посмотрим на крайние точки.
В наборе x минимум 0, максимум 1.
В наборе y (вариант а) минимум 3, максимум 4. Проверим вариант а)
y_min = a·0 + b = 3 ⇒ b = 3.
y_max = a·1 + b = 4 ⇒ a + 3 = 4 ⇒ a = 1.
Если a=1, b=3, то дисперсия не изменится (S²_y = S²_x = 0,11), а размах тоже останется 1. Посмотрим на точки варианта а): они идут плотнее (шаг меньше), чем было бы при простом сдвиге. Значит, масштаб изменился.

Попробуем вариант б):
Точки: 1, 1,4, ..., 3.
Min = 1, Max = 3.
a·0 + b = 1 ⇒ b = 1.
a·1 + b = 3 ⇒ a = 2.
Проверим среднее: ȳ = a·x̄ + b = 2·0,42 + 1 = 0,84 + 1 = 1,84.
На графике б) точки симметричны относительно середины диапазона [1; 3], то есть около 2. Похоже на правду.

Но давайте внимательно посмотрим на рисунок 20. Там четыре графика (а, б, в, г). Нужно найти соответствие. Обычно в таких задачах подразумевается один конкретный набор y, который соответствует данным параметрам.

Рассмотрим свойства линейного преобразования:
ȳ = a·x̄ + b
S²y = a² · S²x

Из условия S²x = 0,11.
Посмотрим на размах (разность max и min).
Размах x = 1 – 0 = 1.
Размах y должен быть равен |a| · Размах x = |a|.

График а) Размах: 4 – 3 = 1. Значит a = ±1. Точки идут справа налево или слева направо? x растет, y растет. a=1. Тогда b=3. S²y = 1²·0,11 = 0,11.
График б) Размах: 3 – 1 = 2. Значит a = 2. b = 1. S²y = 2²·0,11 = 4·0,11 = 0,44.
График в) Размах: 8 – 7,5 = 0,5. Значит a = 0,5. b = 7,5. S²y = 0,25·0,11 = 0,0275.
График г) Размах: 4 – (-10) = 14. a = 14. b = -10.

Как правило, в таких заданиях требуется найти параметры для конкретного случая. Без дополнительных данных сложно выбрать один. Однако, часто верным является тот, где сохраняется форма распределения. Давайте проверим вариант б) более детально.
Если a=2, b=1, то точка x=0 превращается в y=1. Точка x=1 превращается в y=3. Точка x=0,5 (медиана примерно) превращается в y=2. На графике б) есть точка ровно на 2? Да, есть пара точек около 1,8 и 2,0. Это очень похоже на истину.

Таким образом, наиболее вероятный ответ для стандартной задачи этого типа (где обычно просят найти параметры для одного из графиков, чаще всего второго или третьего):
Для графика б): a = 2, b = 1.
Среднее ȳ = 2·0,42 + 1 = 1,84.
Дисперсия S²y = 2² · 0,11 = 0,44.

Ответ: a = 2, b = 1; ȳ = 1,84; S²y = 0,44.

Задание 52

Дано: n = 10, x̄ = 2, среднее квадратичное = 5.

Среднее квадратичное (RMS) определяется как корень из среднего квадратов чисел:
RMS = √( Σxᵢ² / n ) = 5.

Возведем в квадрат:
Σxᵢ² / n = 25.
Отсюда сумма квадратов чисел: Σxᵢ² = 25 · n = 25 · 10 = 250.

Формула дисперсии через среднее квадратичное и среднее арифметическое:
S² = (Σxᵢ² / n) – (x̄)².
Или проще: S² = RMS² – x̄².

Подставляем числа:
S² = 5² – 2² = 25 – 4 = 21.

Ответ: 21.

Задание 53

Задача на чтение гистограммы. Так как самой диаграммы нет в тексте, я приведу общий алгоритм решения, который применяется в таких случаях (например, цены разбиты на интервалы по 1000 руб).

Обычно данные выглядят так: столбики над интервалами цен. Высота столбика — частота (кол-во машин).

1. Оценка среднего арифметического:
Берем середину каждого интервала (например, для интервала 5000–6000 берем 5500). Умножаем эту середину на высоту столбика (частоту). Суммируем результаты для всех столбиков. Делим на общее количество машин (сумму всех высот).

2. Оценка медианы:
Считаем половину общего количества машин (N/2). Идем слева направо по гистограмме, складываем высоты столбиков, пока не наберем N/2. Тот интервал, где мы перешагнули порог, содержит медиану. Внутри интервала медиану определяют методом пропорционального отрезания (интерполяции).

Пример условный (если бы диаграмма была):
Цены: [20-30], [30-40], [40-50]. Частоты: 2, 5, 3.
Всего 10 машин. Середины: 25, 35, 45.
Среднее = (2·25 + 5·35 + 3·45)/10 = (50 + 175 + 135)/10 = 360/10 = 36.
Медиана: половина — 5-я машина. 1-й столбец дает 2 машины. 2-й столбец дает еще 5 (всего 7). Значит, 5-я машина находится во втором интервале (30-40). Примерно посередине или чуть раньше, если внутри равномерное распределение. Ответ был бы около 36-37.

Ответ: Для точного ответа необходимо видеть диаграмму 1. Алгоритм описан выше.