Нахождение точки максимума функции y = x^2 + 12ln(x + 5) - 7

Рассмотрим функцию:

y = x^2 + 12\ln(x + 5) - 7

1. Найдём область определения (ОДЗ):
Аргумент логарифма должен быть положительным: x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5.

2. Найдём производную функции y по x:
\frac{dy}{dx} = 2x + 12 \cdot \frac{1}{x + 5}
или
y' = 2x + \frac{12}{x+5}

3. Найдём критические точки:
Для этого приравняем производную к нулю:
2x + \frac{12}{x+5} = 0
Переносим дробь:
2x = -\frac{12}{x+5}
Умножим обе части на (x + 5), чтобы избавиться от знаменателя (при x ≠ -5):
2x(x + 5) = -12
Раскроем скобки:
2x^2 + 10x = -12
Переносим всё в одну часть:
2x^2 + 10x + 12 = 0
Упростим на 2:
x^2 + 5x + 6 = 0
Это квадратное уравнение.

4. Решим квадратное уравнение:
x^2 + 5x + 6 = 0
Дискриминант:
D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
Корни:
x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2
x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3

Оба корня попадают в ОДЗ (x > -5).

5. Определим, какая из точек — максимум:
Рассмотрим вторую производную:
y'' = \frac{d}{dx}\left(2x + \frac{12}{x+5}\right) = 2 - \frac{12}{(x+5)^2}

Подставляем x = -2:
y''(-2) = 2 - \frac{12}{9} = 2 - 1.333 = 0.667 > 0 — точка минимума.

Подставляем x = -3:
y''(-3) = 2 - \frac{12}{4} = 2 - 3 = -1 < 0 — точка максимума.

Итак, точка максимума:
x = -3

Найдём значение функции в этой точке:
y(-3) = (-3)^2 + 12\ln(-3 + 5) - 7 = 9 + 12\ln(2) - 7 = 2 + 12\ln(2)
Примерно:
\ln(2) \approx 0.693
2 + 12 \times 0.693 = 2 + 8.316 = 10.316

Ответ: точка максимума функции — при x = -3, максимум равен примерно 10,32.