Упростить выражение: (tg(π - α) * sin(3π/2 + α)) / sin(π + α)

Задание 1.
Упростим выражение: (tg(π - α) * sin(3π/2 + α)) / sin(π + α).

Пошаговое решение:
1. tg(π - α): По формуле приведения:

tg(π - α) = -tg(α)

2. sin(3π/2 + α): Формула приведения:

sin(3π/2 + α) = -cos(α)

3. sin(π + α): Формула приведения:

sin(π + α) = -sin(α)

Подставляем эти значения в исходное выражение:

(tg(π - α) * sin(3π/2 + α)) / sin(π + α)
= (-tg(α)) * (-cos(α)) / (-sin(α))

Теперь аккуратно раскроем минусы:

• -tg(α) * -cos(α) = tg(α) * cos(α)
• В знаменателе -sin(α)

То есть, выражение становится:

(tg(α) * cos(α)) / (-sin(α))

Преобразуем дальше: tg(α) = sin(α)/cos(α), подставим:

((sin(α)/cos(α)) * cos(α)) / (-sin(α)) = sin(α)/(-sin(α)) = -1

Ответ: -1

---

Задание 2.
а) cos(5π/8) * cos(3π/8) - sin(5π/8) * sin(3π/8)
По формуле косинуса разности:

cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B) = cos(A + B)

Здесь A = 5π/8, B = 3π/8:

cos(5π/8) * cos(3π/8) - sin(5π/8) * sin(3π/8) = cos(5π/8 + 3π/8) = cos(8π/8) = cos(π) = -1

Ответ: -1
б) sin(α - 45°) - cos(45° + α)
Запишем в радианах: 45° = π/4.

sin(α − π/4) − cos(π/4 + α)

Используем формулу для косинуса суммы:

cos(π/4 + α) = cos(π/4)cos(α) − sin(π/4)sin(α)

А cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, значит:

sin(α − π/4) − [ (1/√2)cos(α) − (1/√2)sin(α) ]
= sin(α − π/4) − (1/√2)cos(α) + (1/√2)sin(α)

Используем формулу разности синусов:

sin(α − π/4) = sin(α)cos(π/4) − cos(α)sin(π/4)
= (1/√2)sin(α) − (1/√2)cos(α)

Подставляем:

(1/√2)sin(α) − (1/√2)cos(α) − (1/√2)cos(α) + (1/√2)sin(α)
= (1/√2)sin(α) + (1/√2)sin(α) − (1/√2)cos(α) − (1/√2)cos(α)
= 2*(1/√2)sin(α) − 2*(1/√2)cos(α)
= √2 sin(α) − √2 cos(α)
= √2 (sin(α) − cos(α))

Ответ: √2 (sin(α) − cos(α))
в) (tg(5π/6 - α) + tg(π/6 + α)) / (1 - tg(5π/6 - α) * tg(π/6 + α))
В числителе и знаменателе видим формулу суммы тангенсов:

tg(A) + tg(B)
-------------- = tg(A + B)
 1 - tg(A)tg(B)

Пусть A = 5π/6 − α, B = π/6 + α. Тогда:

A + B = 5π/6 − α + π/6 + α = (5π/6 + π/6) = π

Значит:

tg(π) = 0

Ответ: 0

---

Задание 3.
(cos(2α) - sin(2α)) / cos(4α)
Преобразуем числитель: используем формулу разности косинуса и синуса:

cos(A) − sin(A) = √2 * cos(A + π/4)

В нашем случае:

cos(2α) − sin(2α) = √2 * cos(2α + π/4)

А в знаменателе воспользуемся формулой:

cos(4α) = 2cos^2(2α) − 1

Однако, в числителе получается сложнее что-то упростить через знаменатель. Другой путь — расписать cos(2α) и sin(2α):

• cos(2α) = 1 - 2sin²(α)
• sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Значит:

Числитель: (1 - 2sin²(α)) - 2sin(α)cos(α) = 1 - 2sin²(α) - 2sin(α)cos(α)

Можно собрать в квадрат суммы:

1 - 2sin²(α) - 2sin(α)cos(α) = 1 - 2[sin²(α) + sin(α)cos(α)]

Но это не особо упрощает выражение. Однако если оставить в форме по формуле косинуса суммы как выше:

(cos(2α) − sin(2α)) / cos(4α) = [√2 * cos(2α + π/4)] / cos(4α)

Это выражение и будет упрощённым.

Ответ: \( \dfrac{\sqrt{2} \; \cos(2 \alpha + \pi/4)}{\cos4\alpha} \) (или аналогично в словах: √2 * cos(2α + π/4) / cos(4α)).