ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 122.1

План решения.

Для сравнения пройденных путей необходимо рассмотреть кинематику движения электрона в двух различных средах: вакууме и металле. В обоих случаях на электрон действует сила со стороны электрического поля F=eE. Однако характер движения существенно различается из-за наличия или отсутствия сопротивления среды. В вакууме электрон движется равноускоренно, так как нет препятствий для его ускорения. В металле же электроны постоянно сталкиваются с ионами кристаллической решетки, что приводит к установлению постоянной средней скорости дрейфа (или ограничению ускорения эффективной массой и временем релаксации). Мы будем сравнивать путь s, пройденный за время t.

Вычисление и анализ.

1. Движение в вакууме.
В вакууме на электрон действует только сила Кулона. Согласно второму закону Ньютона, ускорение электрона постоянно:
a_в =F/m=eE/m
Так как начальная скорость равна нулю (v₀=0), путь, пройденный за время t, определяется формулой равноускоренного движения:
s_в =a_в t²/2 =eEt²/2m

2. Движение в металле.
В проводнике свободные электроны испытывают частые столкновения с узлами кристаллической решетки. Это сопротивление среды можно описать через среднее время между столкновениями τ или через коэффициент вязкости. Из-за этих столкновений электрон не может разогнаться до высоких скоростей, как в вакууме. Его средняя скорость дрейфа v_d устанавливается практически мгновенно после включения поля и остается постоянной при постоянном поле E:
v_d=μE
где μ — подвижность носителей заряда. Путь, пройденный за время t, равен:
s_м =v_dt=μEt

3. Сравнение.
Даже если рассматривать начальный участок пути в металле до первого столкновения, где движение также равноускоренное, средняя скорость в металле многократно меньше конечной скорости электрона в вакууме за то же время t. Более того, в классической модели Друде средняя скорость дрейфа в металлах составляет доли миллиметра в секунду, тогда как скорость электрона в вакууме под действием даже слабых полей быстро достигает тысяч метров в секунду.
Математически, при малых временах t (меньше времени релаксации) пути сопоставимы, но при любом значительном времени t квадратичная зависимость s_в ∼t² дает гораздо больший путь, чем линейная зависимость s_м ∼t (с очень малым коэффициентом). Если же учитывать, что в металле ускорение эффективно «гасится» сопротивлением, то средняя скорость там всегда мала.

Проверка и вывод.

Физический смысл результата очевиден: в вакууме нет препятствий для разгона частицы, поэтому она набирает большую скорость и проходит большой путь. В металле хаотическое тепловое движение и столкновения с решеткой мешают направленному перемещению, ограничивая скорость дрейфа очень малыми значениями. Следовательно, за одно и то же время путь электрона в металле будет значительно меньше, чем в вакууме.