Предел lim (x → ∞) (√(x² + 1) – x)

Рассмотрим следующий предел:

limx → ∞ (√(x² + 1) - x)

Шаг 1. Прямая подстановка
Подставлять напрямую нельзя, т.к. и √(x²+1), и x стремятся к бесконечности, а их разность — неопределенность вида ∞ – ∞.

Шаг 2. Умножим на сопряжённое выражение
Чтобы избавиться от неопределённости, умножим и разделим на сопряжённое (√(x² + 1) + x):

√(x² + 1) - x = [(√(x²+1) - x) * (√(x²+1) + x)] / (√(x²+1) + x)

Числитель:
(√(x²+1) - x)(√(x²+1) + x) = (x²+1) - x² = 1

Итак,

limx → ∞ 1 / (√(x²+1) + x)

Шаг 3. Деление числителя и знаменателя на x
Рассмотрим выражение:

1 / (√(x²+1) + x) = 1 / (x·(√(1 + 1/x²) + 1))

При x→∞, 1/x² → 0, значит √(1 + 1/x²) → 1.

Итак,

1 / (x·(1 + 1)) = 1 / (2x)

А предел этого выражения при x→∞ равен 0.

Итог:
Предел равен 0.

Ответ:

limx→∞(√(x²+1) – x) = 0