ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 77.6: Примеры решения задач по теме «свойства жидкости»

План решения.

Задача опирается на понимание двух физических явлений: капиллярного поднятия и удержания жидкости в трубке за счёт сил поверхностного натяжения. Когда капилляр погружён в жидкость, она поднимается на высоту h₁=3 см до тех пор, пока сила тяжести столба жидкости не уравновесится вертикальной составляющей силы поверхностного натяжения. Если же мы вытянем этот капилляр из жидкости так, чтобы он остался висеть вертикально (или почти вертикально), то внутри него может остаться столб жидкости. Максимальная высота такого удерживаемого столба определяется тем фактом, что давление под мениском должно быть достаточным для компенсации веса всего столба. В случае с капилляром, который был только что вынут, или если мы рассматриваем предельный случай устойчивости столба в узкой трубке без нижнего контакта с резервуаром, нужно учитывать разницу давлений.

Однако более точный физический смысл задачи «какова максимальная высота столба, который может удержать этот капилляр» обычно сводится к сравнению условий равновесия. При погружении в жидкость высота подъёма h определяется формулой Лапласа-Жюрена: h=2σcosθ/ρgr где σ — коэффициент поверхностного натяжения, θ — краевой угол смачивания, r — радиус капилляра. Эта высота h=3 см соответствует равновесию, когда снизу действует атмосферное давление, а сверху над мениском тоже атмосферное (если трубка открыта). Давление под мениском меньше атмосферного на величину Δp=ρgh.

Вычисление и анализ ситуации.

Рассмотрим капилляр, вытянутый из жидкости. Предположим, что жидкость полностью смачивает стенки (θ=0, cosθ=1). Если мы хотим удержать столб жидкости в верхней части капилляра (например, перевернув его или просто оставив висеть), то ключевым является условие того, что давление внутри жидкости не может стать отрицательным (в вакууме) ниже определённого предела, но в школьной физике чаще рассматривают механическое равновесие.

Существует важный нюанс: при обычном капиллярном подъёме жидкость поднимается на высоту h. Если же мы возьмём капиллярную трубку длиной больше h, опустим её в жидкость, а затем поднимем так, что нижний конец окажется выше уровня жидкости в сосуде, то в трубке останется столб жидкости. Но вопрос звучит иначе: «максимальная высота столба, который может удержать этот капилляр». Это классическая задача на сравнение давлений.

Давайте посмотрим на давления. В состоянии покоя при погружении в жидкость давление под мениском на высоте h равно p_atm-ρgh. Сила поверхностного натяжения тянет мениск вверх. Если мы вытянем капилляр из жидкости, создавая замкнутый объём или оставляя его открытым снизу? Обычно подразумевается, что капилляр остаётся открытым с обоих концов. Если мы держим капилляр вертикально, и он пустой, то жидкость в нём не удержится, кроме как за счёт адгезии к стенкам, но это пренебрежимо мало по сравнению с весом столба.

Однако есть другая интерпретация, часто встречающаяся в таких задачах: сравнение высоты подъёма в капилляре и максимальной высоты столба, который можно поднять, используя капилляр как насос или учитывая, что давление под мениском может падать до нуля (вакуум). Но здесь речь о свойствах самой жидкости и капилляра.

Вернёмся к базовой формуле. Высота подъёма h₁=3 см обусловлена балансом сил: F_пов =G_столба 2πrσ=πr²h₁ρg Отсюда следует, что удельная сила поверхностного натяжения на единицу длины окружности способна уравновесить вес столба высотой h₁.

Если мы вытянем капилляр из жидкости, то для удержания столба жидкости внутри него (предположим, что верхний конец закрыт, или мы говорим о предельной высоте, которую может создать капиллярное давление, если бы оно действовало против полного вакуума снизу?), ситуация меняется. Но стандартный ответ на такие задачи строится на том, что капиллярное давление Δp=2σ/r способно поднять жидкость на высоту h. Если же мы рассматриваем столб, который удерживается только силами поверхностного натяжения на обоих концах (мениски сверху и снизу), то максимальная высота будет отличаться.

Но давайте внимательно прочитаем условие: «Какова максимальная высота столба, который может удержать этот капилляр, будучи вытянутым из жидкости?». Это означает, что мы имеем дело с капилляром, который уже не касается жидкости в сосуде. Жидкость находится внутри трубки. Чтобы столб не вытек, он должен удерживаться силами поверхностного натяжения на верхнем и нижнем менисках.

Вверху мениск выпуклый или вогнутый? Если жидкость смачивает стекло, то в свободной трубке жидкость стремится принять форму капли, но в узком канале она образует два мениска. Давление под верхним мениском (вогнутым вниз относительно воздуха, т.е. выпуклым вверх относительно жидкости? Нет, при смачивании мениск вогнутый).

Рассмотрим равновесие столба жидкости длиной H в капилляре, вытянутом из жидкости. На столб действуют:

• Сила тяжести вниз: mg=ρgSH.
• Сила поверхностного натяжения на верхнем мениске. Если жидкость смачивает стенки, мениск вогнутый. Сила натяжения направлена вдоль касательной к поверхности. Вертикальная составляющая тянет жидкость вверх (против вытекания вниз? Нет, на верхнем конце жидкость «прилипает» к стеклу, сила натяжения стекла на жидкость направлена вверх).
• Сила поверхностного натяжения на нижнем мениске. Мениск также вогнутый. Сила натяжения стекла на жидкость направлена вверх (так как жидкость пытается оторваться от стекла вниз, стекло тянет её вверх).

Таким образом, суммарная сила поверхностного натяжения, удерживающая столб, равна сумме сил на обоих концах. Для одного конца сила равна F₁=2πrσ. Для двух концов: F_total=4πrσ.

Условие равновесия: 4πrσ=ρgSH_max=ρgπr²H_max

Отсюда находим максимальную высоту: H_max=4σ/ρgr

Мы знаем, что при погружении в жидкость высота подъёма h₁ определялась одним мениском (снизу жидкость контактирует с резервуаром, давление там атмосферное, а сверху мениск создаёт перепад): h₁=2σ/ρgr

Сравниваем выражения: H_max=2·(2σ/ρgr)=2h₁

Проверка и итоговый расчёт.

Дано: h₁=3 см.

Максимальная высота столба, удерживаемого капилляром вне жидкости (за счёт двух менисков), составляет: H_max=2·3 см =6 см

Логика проверки: когда капилляр погружён, жидкость поднимается, потому что одно давление (под мениском) становится меньше атмосферного на величину ρgh. Когда капилляр вынут, жидкость удерживается двумя границами раздела. Каждая граница обеспечивает перепад давления Δp=2σ/r. Верхняя граница «тянет» жидкость вверх (или препятствует выходу воздуха/разрыву), нижняя граница также препятствует вытеканию. Суммарное давление, которое могут «выдержать» эти две границы, вдвое больше, чем одна. Следовательно, и высота столба, который они могут уравновесить, вдвое больше высоты обычного капиллярного подъёма.