ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 109.6: Примеры решения задач по теме «Астрономия»

План решения:

• Используем закон Хаббла для определения расстояния до галактики по её красному смещению.
• Применим формулу малых углов, связывающую линейный диаметр объекта, расстояние до него и его видимый угловой размер, чтобы найти линейный диаметр галактики.
• Рассчитаем время пути света, зная расстояние в парсеках и скорость света (или используя связь между световым годом и парсеком).

Вычисление:

1. Определение расстояния до галактики.

Закон Хаббла записывается как v=H₀d, где v — скорость удаления, H₀ — постоянная Хаббла, d — расстояние. Скорость удаления связана с красным смещением z соотношением v≈cz (при малых z, но здесь z=0,25, что уже требует осторожности, однако в школьных задачах часто используют классическую формулу или релятивистскую поправку. Для оценки в рамках 11 класса обычно берут v=cz). Примем стандартное значение постоянной Хаббла H₀≈70 км/с на Мпк (или 73). В старых учебниках могло быть 50 или 60. Попробуем вывести через ключевой ответ: если d≈75 000 пк? Нет, это слишком мало для z=0,25. Посмотрим на ключ: 75 млн пк? Или опечатка в ключе? Давайте посчитаем честно.

Скорость света c≈3·10⁵ км/с.

v=c·z=3·10⁵·0,25=7,5·10⁴ км/с.

Если взять H₀=70 км/(с·Мпк), то расстояние d=v/H₀=75000/70≈1071 Мпк ≈1,07·10⁹ пк.

Если взять H₀=50 км/(с·Мпк) (часто встречается в советских задачах), то d=75000/50=1500 Мпк =1,5·10⁹ пк.

Ключ говорит «75 000 пк». Это противоречит физике красного смещения z=0,25. Возможно, в условии имелось в виду другое число или единицы измерения в ключе неверны (например, Мпк вместо пк, или z было другим). Однако, давайте посмотрим на вторую часть ключа: «3,26 · 10⁹ лет». Световой год равен примерно 0,306 пк. Тогда расстояние d=t_свет ·c. Если свет идёт 3,26·10⁹ лет, то расстояние в световых годах равно 3,26·10⁹ св. лет. Переведем в парсеки: 1 пк ≈3,26 св. года. Значит, d≈3,26·10⁹/3,26=10⁹ пк =1000 Мпк.

Таким образом, ключ подразумевает расстояние d≈10⁹ пк (1 Гпк). А цифра «75 000» в первой части ответа, скорее всего, относится к диаметру в каких-то других единицах или является опечаткой в источнике ответов (возможно, там должно быть 75 млн пк или диаметр в пк?). Давайте проверим диаметр при d=10⁹ пк.

Угловой диаметр α=15′. Переведем в радианы: 15′=15/60 градуса =0,25^°. В радианах: α=0,25·π/180≈0,25·0,01745≈4,36·10^-3 рад.

Линейный диаметр D=d·α.

D=10⁹ пк ·4,36·10^-3≈4,36·10⁶ пк.

Это не совпадает с «75 000». Попробуем обратную логику: если диаметр D=75000 пк, а угол α≈4,36·10^-3 рад, то расстояние d=D/α=75000/0,00436≈1,72·10⁷ пк ≈17 Мпк. При таком расстоянии красное смещение было бы ничтожно малым (z≈0,004).

Вероятно, в условии задачи или в ключе есть несоответствие. Но мы должны решить задачу корректно по физическим законам, используя данные условия. Часто в таких задачах подразумевается использование упрощенной модели или конкретных констант из учебника. Допустим, мы используем стандартные значения.

Расстояние d: Используем H₀≈73 км/с/Мпк (современное) или 50 (старое). Возьмем среднее школьное H₀≈70 км/с/Мпк. d=cz/H₀=3·10⁵·0,25/70≈1071 Мпк ≈1,07·10⁹ пк.

Диаметр D: α=15′=15/60^°=1/4^°=π/720 рад ≈0,00436 рад. D=d·α≈1,07·10⁹ пк ·0,00436≈4,66·10⁶ пк.

Время полета света t: t=d/c. Так как d выражено в пк, а 1 пк ≈3,26 св. года, то расстояние в световых годах d_ly=1,07·10⁹·3,26≈3,5·10⁹ св. лет. Время t≈3,5·10⁹ лет.

Сравним с ключом: Ключ дает время 3,26·10⁹ лет. Это соответствует расстоянию ровно 10⁹ пк (так как 10⁹ пк ·3,26 св.год/пк =3,26·10⁹ св.лет). Чтобы получить d=10⁹ пк =1000 Мпк при z=0,25, нужно использовать H₀=75 км/с/Мпк (75000/75=1000). Это вполне реалистичное значение постоянной Хаббла. Значит, автор задачи использовал H₀=75 км/с/Мпк.

Тогда диаметр: D=10⁹ пк ·π/720≈10⁹·0,004363≈4,36·10⁶ пк. В ключе написано «75 000 пк». Это явная ошибка в ключе или опечатка в единицах (может быть, 75 млн пк? Нет, 4,36 млн. Может быть, диаметр в световых годах? 4,36·10⁶·3,26≈1,4·10⁷. Тоже нет). Однако, если посмотреть на число 75000, оно совпадает со скоростью v в км/с (75000). Возможно, в ответе перепутали строки или величины. Мы приведем правильное решение, основываясь на согласованности времени и расстояния с ключом (H₀=75).

Проверка:

При H₀=75 км/с/Мпк расстояние d=1000 Мпк =10⁹ пк. Время t=d/c. В световых годах d=10⁹·3,26=3,26·10⁹ св. лет. Время t=3,26·10⁹ лет. Совпадает с ключом. Диаметр D=d·α=10⁹·(15/60·π/180)≈4,36·10⁶ пк. Число 75000 в ключе, вероятно, ошибочно отнесено к диаметру, либо это диаметр в каких-то специфических единицах, не указанных явно, но физически правильный ответ на вопрос о диаметре — около 4,4 млн пк.