ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер p131.4: Колебания и волны

План решения.

Чтобы найти расстояние между точками в разных средах, колебания в которых происходят в одной фазе, нужно проанализировать разность фаз этих колебаний. Поскольку частота ν у обеих волн одинакова, угловая частота ω=2πν также совпадает. Разность фаз зависит от пройденного расстояния и длины волны в каждой среде. Нам необходимо найти минимальное положительное расстояние x, при котором разность фаз будет кратна 2π (то есть равна нулю или целому числу оборотов).

Вычисление.

Запишем уравнения колебаний для двух точек. Пусть первая точка находится на расстоянии x₁ от начала координат в первой среде, а вторая — на расстоянии x₂ во второй среде. Так как мы ищем точки, расположенные вдоль направления распространения, и хотим найти расстояние между ними, удобно считать, что одна точка находится в начале координат (x=0), а другая смещена на искомое расстояние d. Однако более общий подход: рассмотрим две точки, находящиеся на расстоянии L друг от друга вдоль оси распространения. Но так как среды разные, проще всего рассмотреть фазу в конкретной точке пространства-времени.

Фаза волны в точке с координатой x в момент времени t задается выражением Φ=ωt-kx, где k=2π/λ — волновое число.

Длины волн в средах связаны со скоростями и частотой соотношениями:

Соответственно, волновые числа равны:

Пусть в некоторый момент времени t фаза колебаний в точке A (в первой среде) равна Φ_A=ωt-k₁x_A, а в точке B (во второй среде) — Φ_B=ωt-k₂x_B. Условие синфазности означает, что разность фаз должна быть кратна 2π:

В задаче требуется определить расстояние между точками, расположенными вдоль направления распространения . Обычно под этим подразумевается поиск такой конфигурации, когда мы сравниваем состояние в одной точке первой среды и соответствующей ей точке второй среды, либо ищем периодичность по пространству. Если предположить, что мы ищем минимальное расстояние d между двумя точками, которые находятся в разных средах, но их положения фиксированы относительно фронта волны, то задача сводится к поиску периода биений по пространству.

Более стандартная трактовка таких задач: найти расстояние x, на котором фаза волны в первой среде «догоняет» или совпадает с фазой во второй среде, если они начинаются из одной точки в один момент времени. То есть, пусть x_A=x и x_B=x (точки лежат на одной прямой, но в разных средах? Нет, среды разные).

Давайте переформулируем строго. Две плоские волны бегут в одном направлении. В какой-то момент времени фронты совпадают. Через какое расстояние L вдоль направления распространения снова возникнет ситуация, когда точка в первой среде и точка во второй среде (расположенные на расстоянии L друг от друга?) колеблются в фазе?

Рассмотрим разность фаз двух волн в произвольной точке пространства, если бы они были в одной среде. Здесь же среды разные. Представим, что граница сред находится в точке x=0. Волна 1 идет в среде 1, волна 2 идет в среде 2. Они имеют общую частоту. Допустим, в момент t=0 в точке x=0 фазы совпадают (Φ₁(0,0)=Φ₂(0,0)).

Тогда фаза в точке x в среде 1: Φ₁(x,t)=ωt-k₁x. Фаза в точке x в среде 2: Φ₂(x,t)=ωt-k₂x.

Нас интересуют две точки: точка P₁ с координатой x₁ в среде 1 и точка P₂ с координатой x₂ в среде 2. Расстояние между ними d=|x₂-x₁| (если они на одной прямой). Но обычно в таких задачах спрашивают расстояние между соседними точками, колеблющимися в фазе, вдоль линии распространения , предполагая, что мы можем выбрать любую пару точек (x_1,x₂), удовлетворяющую условию синфазности, и нас интересует минимальное расстояние между ними.

Условие синфазности: Φ₁(x_1,t)=Φ₂(x_2,t)+2πn.

Здесь x₁ и x₂ — координаты точек от общего начала (границы или источника). Если мы считаем, что волны идут от одного источника через разные среды, то это не совсем корректно физически без указания геометрии. Скорее всего, речь идет о том, что мы имеем две параллельные лучи или одну линию, разделенную на два участка.

Самый распространенный вариант этой задачи в школьном курсе: найти расстояние между точками, которые находятся в разных средах, но колеблются в одной фазе в один и тот же момент времени. При этом часто подразумевается, что эти точки расположены симметрично относительно границы или просто на одной прямой.

Если предположить, что мы ищем минимальное расстояние d между двумя точками, лежащими на одной прямой, одна в среде 1, другая в среде 2, и при этом выполняется условие синфазности. Для минимального расстояния возьмем n=1 (или n=-1). Также нужно учесть, что точки могут находиться по разные стороны от границы раздела. Пусть граница в x=0. Точка 1 в x₁>0 (среда 1), точка 2 в x₂<0 (среда 2)? Или обе в положительной полупрямой, но в разных средах невозможно одновременно.

Вернемся к классическому решению подобных задач на «биения» по пространству. Разность фаз двух волн одинаковой частоты, распространяющихся в разных средах, накапливается за счет разности волновых чисел. Если мы рассматриваем две точки, удаленные друг от друга на расстояние d вдоль направления распространения, и хотим, чтобы они были в фазе, то изменение фазы должно компенсироваться.

Однако, наиболее вероятная интерпретация: нам даны две волны, идущие в одном направлении. Мы хотим найти расстояние между точками, которые колеблются в фазе. Это аналог поиска длины волны, но для системы двух сред.

Рассмотрим разность фаз ΔΦ между двумя точками, находящимися на расстоянии d друг от друга вдоль направления распространения. Если бы среда была одна, ΔΦ=kd. Здесь же, если одна точка в среде 1, а другая в среде 2, и они разделены границей, то путь до них разный.

Давайте воспользуемся методом «эффективной длины». Период колебаний T=1/ν. За время T волна 1 проходит путь v₁T=λ₁, а волна 2 — v₂T=λ₂. Разность хода за один период составляет Δλ=λ₁-λ₂.

Расстояние между соседними точками, колеблющимися в фазе (так называемый пространственный период биений или длина волны результирующего поля, если бы они накладывались), определяется формулой:

Подставим выражения для длин волн:

Так как по условию v₁>v₂, то |v₁-v₂|=v₁-v₂. Таким образом, расстояние между точками, колеблющимися в фазе (минимальное ненулевое расстояние), равно:

Проверка.

Размерность ответа: [d]=[L/T]²/[1/T][L/T]=L²/T²/L/T²=L. Размерность совпадает с расстоянием.

Предельные случаи: если v₁→v₂, знаменатель стремится к нулю, расстояние стремится к бесконечности. Это логично: если скорости одинаковы, волны всегда остаются в фазе (при одинаковых начальных условиях), и понятие «следующая точка в фазе» теряет смысл или становится неопределенным (все точки в фазе). Если ν увеличивается, расстояние уменьшается, так как волны быстрее меняют фазу. Ответ выглядит физически обоснованным.