ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 2: Логические утверждения и высказывания

Рассмотрим утверждение вида «Все x обладают свойством P». Чтобы такое утверждение было истинным, оно должно выполняться для каждого элемента множества без исключения.

Чтобы опровергнуть это утверждение (доказать его ложность), нам не нужно проверять все элементы. Достаточно найти хотя бы один элемент, который не обладает свойством P. Такой элемент называется контрпримером .

Пример: Утверждение «Все лебеди белые» ложно, если мы найдём хотя бы одного чёрного лебедя. Один такой случай разрушает общее правило.

Вывод по пункту а): Да, одного контрпримера достаточно для опровержения общего утверждения.

Теперь рассмотрим задачу доказательства. Пусть нам нужно доказать утверждение «Все x обладают свойством P» или «Существует x, обладающий свойством P».

Если утверждение является общим (содержит квантор «все», «любой»), то привести один пример недостаточно. Например, чтобы доказать, что «все натуральные числа больше нуля», нельзя просто сказать «число 5 больше нуля». Нужно строгое логическое рассуждение, применимое ко всем числам.

Однако, если утверждение является частным или содержит квантор существования («существует», «найдётся»), то приведение одного подходящего примера является полным доказательством. Например, чтобы доказать утверждение «Существует чётное простое число», достаточно привести пример: число 2.

В контексте школьной логики обычно подразумевается различие между общими и частными утверждениями. Но чаще всего под вопросом «достаточно ли примера для доказательства» имеют в виду доказательство общих теорем. Для общей теоремы пример — это лишь иллюстрация, а не доказательство.

Уточнение: В стандартной математической практике:

• Для опровержения общего утверждения: нужен 1 контрпример.
• Для доказательства общего утверждения: нужен 1 пример? Нет.
• Для доказательства существования: нужен 1 пример? Да.

Вывод по пункту б): Нет, одного примера недостаточно для доказательства общего утверждения (теоремы). Пример может служить только для доказательства существования объекта с определённым свойством.