ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 109.2: Примеры решения задач по теме «Закон Ома. Последовательное и

План решения:

Задача описывает электрическую цепь из пяти резисторов сопротивлением r, соединённых в форме квадрата с диагональю. Обозначим вершины квадрата как A,B,C,D по часовой стрелке, а центр пересечения диагоналей — как O. Согласно условию, контакты есть только в узлах A,B,C,D,O, но между собой узлы не соединены (кроме проводников). Проводники расположены так: стороны квадрата AB,BC,CD,DA и диагональ AC (или BD, симметрия позволяет выбрать любую). В условии сказано «образующих его диагональ», обычно это означает одну полную диагональ или две половины через центр. Учитывая фразу «в точке пересечения диагоналей контакта нет», структура цепи такова: четыре стороны квадрата (4r) и одна диагональ (2r? Нет, сопротивление каждого проводника равно r. Если диагональ состоит из одного проводника, то он равен r. Но диагональ длиннее стороны. Обычно в таких задачах подразумевается, что «проводник» — это участок цепи. Давайте уточним геометрию. Квадрат имеет 4 стороны. Диагональ делит квадрат на два треугольника. Если «пяти проводников... образующих его диагональ», скорее всего, имеется в виду: 4 стороны квадрата + 1 диагональ. Всего 5 элементов. Сопротивление каждого элемента r. Точка пересечения диагоналей — это просто геометрическая точка, если там нет узла соединения, то она не влияет на схему, если диагональ — один проводник. Однако фраза «в точке пересечения диагоналей контакта нет» намекает на то, что могут быть две диагонали? Нет, сказано «пяти проводников». 4 стороны + 1 диагональ = 5. Или 4 стороны + 2 половинки диагонали? Тогда 6. Значит, схема: квадрат ABCD со сторонами r и диагональ AC с сопротивлением r. Узел O (центр) отсутствует как электрический контакт, если диагональ цельная. Но тогда зачем упоминать точку пересечения? Возможно, диагональ BD тоже есть? Тогда было бы 6 проводников. Перечитаем: «Сопротивление каждого из пяти проводников... равно r». Значит, ровно 5. Вариант А: Стороны AB,BC,CD,DA и диагональ AC. Вариант Б: Стороны и две половинки одной диагонали? Нет, тогда 6. Вариант В: Одна сторона заменена? Нет, «соединённых в квадрат». Наиболее вероятная интерпретация для школьной физики при наличии 5 элементов: 4 стороны квадрата и одна диагональ. Упоминание точки пересечения может быть отвлекающим или указывать на отсутствие связи с другой гипотетической диагональю. Будем считать, что есть диагональ AC сопротивлением r. Стороны AB=BC=CD=DA=r.

Вычисление:

Случай 1: Подключение к соседним вершинам (например, A и B).

Ток входит в A и выходит из B. Разберём пути тока от A до B:

1. Прямой путь через сторону AB: сопротивление R₁=r.
2. Путь через остальные элементы: A→D→C→B и A→C→B (через диагональ).
   • Рассмотрим узел C. К нему подходят ветви DC (сопротивление r), CB (сопротивление r) и диагональ AC (сопротивление r).
   • Давайте применим метод эквивалентных преобразований или симметрии. Схема: Вершины A,B,C,D. Ребра: (A,B)=r,(B,C)=r,(C,D)=r,(D,A)=r,(A,C)=r. Ребро (B,D) отсутствует. Нужно найти R_AB.
   • Заметим, что узлы D и C связаны с A и B. Можно переписать схему относительно выводов A и B: - Между A и B напрямую стоит резистор r. - Остальная часть цепи подключена параллельно этому резистору? Посмотрим на оставшуюся часть: от A идут ветви в D (r) и в C (r через диагональ). От B идут ветви в C (r) и в D (нет прямого соединения, только через C или A). Это сложно. Попробуем свернуть. Узел D соединен с A (r) и C (r). Узел C соединен с A (r), B (r) и D (r). Выделим подсеть без прямой связи A-B. Это цепь A-D-C-B плюс шунт A-C. Между A и C есть два пути: прямой (r) и через D (A-D-C, сумма 2r). Эти два пути параллельны. Эквивалентное сопротивление между A и C в этой части: R_AC′=r·2r/r+2r=2/3r. Теперь у нас есть эффективный резистор R_AC′=2/3r между A и C. К узлу C также подключен резистор CB=r, ведущий к B. Резистор AD уже учтен в R_AC′? Да, путь A-D-C был частью параллельного соединения с A-C. Но постойте, узел D больше никуда не ведет. Правильно ли я свернул? Проверим: Ток из A идет в D и в C. Из D ток идет только в C. Значит, ветвь AD и ветвь DC последовательны (2r). Эта комбинация параллельна ветви AC (r). Результат: сопротивление блока A…C равно 2/3r. Этот блок находится между A и C. Далее от C к B идет резистор CB (r). Таким образом, вся сложная ветвь от A до B (не считая прямой AB) представляет собой последовательное соединение блока AC и резистора CB. Сопротивление этой ветви: R_branch=R_AC′+R_CB=2/3r+r=5/3r. Эта ветвь параллельна прямому резистору AB (r). Полное сопротивление R_eq=R_AB·R_branch/R_AB+R_branch=r·5/3r/r+5/3r=5/3r²/8/3r=5/8r.

Ответ для пункта 1: 5/8r.

Случай 2: Подключение к вершинам, лежащим на одной диагонали (например, A и C).

Ток входит в A и выходит из C. Прямое соединение A-C имеет сопротивление r.

Остальные пути от A к C:

• Путь через B: A→B→C. Сопротивления AB=r и BC=r соединены последовательно. Итого 2r.
• Путь через D: A→D→C. Сопротивления AD=r и DC=r соединены последовательно. Итого 2r.

Эти два внешних пути (через B и через D) соединены параллельно друг другу, так как оба начинаются в A и заканчиваются в C.

Сопротивление параллельного соединения двух ветвей по 2r: R_ext=2r·2r/2r+2r=4r²/4r=r.

Теперь этот эквивалентный резистор R_ext=r подключен параллельно к прямой диагонали AC (r).

Полное сопротивление R_eq=r·r/r+r=r²/2r=r/2.

Проверка:

Для пункта 2 результат совпадает с ключом учебника (r/2), что подтверждает правильность интерпретации схемы (4 стороны + 1 диагональ). Для пункта 1 полученный ответ 5r/8 является стандартным результатом для такой топологии. Логика свертывания цепей проверена: узел D является тупиковым относительно путей A-C в первом случае? Нет, в первом случае мы искали A-B. Путь A-D-C-B корректно учтен как последовательность AD+DC параллельно AC, затем последовательно с CB. Все верно.