ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 96.4: Напряжённость электрического поля

План решения:

• Определим исходную напряжённость поля в точке B от двух зарядов -q и -2q, расположенных на концах отрезка AC.
• Запишем условие задачи: новая напряжённость должна быть в 2 раза больше исходной.
• Выразим неизвестный заряд Q, который нужно поместить вместо заряда -2q, используя принцип суперпозиции полей.

Вычисление:

Пусть расстояние AB=BC=r. Тогда расстояние между A и C равно 2r.

Напряжённость поля, создаваемая точечным зарядом q₁ на расстоянии r, равна E=k|q₁|/r².

Заряды -q (в точке A) и -2q (в точке C) имеют одинаковый знак. Векторы напряжённости E_A и E_C в точке B направлены к источникам , то есть в противоположные стороны.

Модуль напряжённости от заряда в A: E_A=kq/r² (направлен к A).

Модуль напряжённости от заряда в C: E_C=k2q/r² (направлен к C).

Так как векторы направлены встречно, результирующая напряжённость E₁ равна разности модулей:

По условию, после замены заряда в точке C на новый заряд Q напряжённость E₂ должна увеличиться в 2 раза:

Рассмотрим два случая для нового заряда Q:

1. Если Q>0, то вектор E_Q направлен от C (к A). Он сонаправлен с E_A. Тогда: E₂=E_A+E_Q=kq/r²+kQ/r² Приравниваем к требуемому значению: kq/r²+kQ/r²=2kq/r²⇒Q=q
2. Если Q<0, то вектор E_Q направлен к C. Он противоположен E_A. Тогда: E₂=|E_Q-E_A|=|k|Q|/r²-kq/r²| Чтобы получить 2kq/r², нужно либо |Q|-q/r²k=2q/r²k⇒|Q|=3q (тогда Q=-3q), либо q-|Q|/r²k=2q/r²k, что невозможно при положительных модулях.

Проверим оба варианта ответа (Q=q и Q=-3q).

Вариант 1: Q=q. Поле от q в C направлено к C (отрицательный источник? Нет, если Q=q>0, поле от него в B направлено влево, к A). Поле от -q в A направлено влево, к A. Сумма: E=kq/r²+kq/r²=2kq/r². Это верно.

Вариант 2: Q=-3q. Поле от -3q в C направлено вправо, к C. Поле от -q в A направлено влево, к A. Разность: E=k3q/r²-kq/r²=2kq/r². Это тоже верно.

Обычно в таких задачах подразумевается единственный ответ или указание знака. Однако физически возможны оба случая. Если требуется просто «какой заряд», часто ожидают положительный заряд, так как он меняет направление поля одного из источников на противоположное относительно исходного вклада, либо усиливает его. Но давайте посмотрим на формулировку «увеличилась». Исходное поле было kq/r² (направлено к C, так как вклад от 2q больше). Новое поле должно быть 2kq/r². Направление может сохраниться или измениться. Если Q=q, поле направлено к A (так как вклад от A и C теперь складываются в одну сторону? Нет. E_A к A, E_Q (от +q) к A. Итого к A. Модуль 2kq/r². Направление изменилось на противоположное исходному (было к C). Если Q=-3q, поле направлено к C (так как E_Q к C больше E_A к A). Модуль 2kq/r². Направление совпадает с исходным. Чаще всего под «увеличением» понимают рост модуля без строгого требования к направлению, но иногда контекст подразумевает сохранение направления. Без дополнительных указаний оба ответа верны. Однако, стандартные решебники часто дают ответ q или -3q. Давайте выберем наиболее простой алгебраический путь, не усложняя знаками направлений, а работая с проекциями. Проекция оси x направим от A к C. Исходно: E_Ax=-kq/r², E_Cx=+k2q/r². E_1x=kq/r². Модуль E₁=kq/r². Новое: E_2x=-kq/r²+kQ/r². Требуется |E_2x|=2kq/r². Случай 1: -kq/r²+kQ/r²=2kq/r²⇒Q=3q. Случай 2: -kq/r²+kQ/r²=-2kq/r²⇒Q=-q. Подождите, я ошибся в предыдущем рассуждении про знаки. Давайте пересчитаем аккуратно. Ось X: от A к C. Заряд в A: -q. Поле в B (точка справа от A): направлено к A (влево). Проекция E_A=-kq/r². Заряд в C: -2q. Поле в B (точка слева от C): направлено к C (вправо). Проекция E_C=+k(2q)/r². Исходная напряженность E₁=E_A+E_C=-kq/r²+2kq/r²=+kq/r². Модуль |E₁|=kq/r². Направление вправо (к C). Нужно, чтобы новая напряженность E₂ имела модуль 2kq/r². Заряд в A тот же: E_A=-kq/r². Заряд в C стал Q: E_Q=+kQ/r² (если Q положителен, поле от него в B направлено влево? Нет. Если Q положителен, поле от него в B (слева от C) направлено влево, т.е. отрицательно. Формула E=kQ/r² дает вектор от заряда. Вектор от C к B направлен влево. Значит проекция E_Q=-kQ/r²?? Нет, стандартная формула для проекции поля точечного заряда q в точку наблюдения: E=kq/r²n, где n — единичный вектор от заряда к точке. Для заряда в A (-q): вектор от A к B направлен вправо (+1). E_A=k-q/r²(1)=-kq/r². Для заряда в C (Q): вектор от C к B направлен влево (-1). E_Q=kQ/r²(-1)=-kQ/r². Исходно Q=-2q. E_C,old=-k-2q/r²=+2kq/r². E_total,old=-kq/r²+2kq/r²=+kq/r². Модуль kq/r². Новое поле E_total,new=E_A+E_Q=-kq/r²-kQ/r²=-kq+Q/r². Требуемый модуль: |E_total,new|=2kq/r². |-kq+Q/r²|=2kq/r² |q+Q|=2q Два случая: 1) q+Q=2q⇒Q=q 2) q+Q=-2q⇒Q=-3q Ответы: q или -3q.

Проверка:

Если Q=q: Поле от A (-q) тянет влево (E=kq/r²). Поле от C (+q) толкает влево (E=kq/r²). Итого 2kq/r² влево. Модуль удвоен. Верно. Если Q=-3q: Поле от A (-q) тянет влево (E=kq/r²). Поле от C (-3q) тянет вправо (E=3kq/r²). Итого 2kq/r² вправо. Модуль удвоен. Верно.