ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 96.2: Напряжённость электрического поля

План решения:

Для определения напряжённости электрического поля в различных областях пространства воспользуемся теоремой Гаусса для вектора электрической индукции D. Так как система обладает сферической симметрией, модуль вектора D зависит только от расстояния r до центра заряда. Теорема Гаусса гласит: поток вектора D через замкнутую поверхность равен свободному заряду внутри этой поверхности: ointDdS=q_free

Мы выделим три характерные области:

• Область I: внутри оболочки (r<R₁), где находится вакуум (или воздух).
• Область II: внутри диэлектрика (R₁≤r≤R₂).
• Область III: снаружи оболочки (r>R₂), где снова вакуум.

Связь между напряжённостью E и индукцией D в линейном изотропном диэлектрике задается формулой D=εε₀E, откуда E=D/εε₀. В вакууме ε=1.

Вычисление напряжённости по областям:

Область I (r<R₁):

Выберем гауссову поверхность — сферу радиуса r. Внутри неё находится только точечный заряд q. Поток D равен 4πr²D. Следовательно, 4πr²D=q, откуда D=q/4πr². Так как среда вакуумная (ε=1), то:

Подставим числовые значения (k=1/4πε₀≈9·10⁹ Н·м²/Кл²):

На внутренней границе оболочки при r=R₁=0.05 м:

Область II (R₁≤r≤R₂):

Гауссова поверхность всё ещё охватывает только заряд q, поэтому D=q/4πr² не меняется. Однако теперь среда — диэлектрик с проницаемостью ε=2. Напряжённость определяется как:

На внутренней границе (r=R₁): E₂(R₁)=4.5/0.0025=1800 В/м. Заметим скачок напряжённости на границе раздела сред.

На внешней границе (r=R₂=0.06 м):

Область III (r>R₂):

Снова вакуум (ε=1). Гауссова поверхность охватывает тот же заряд q. Формула совпадает с областью I:

На внешней границе (r=R₂): E₃(R₂)=9/0.0036=2500 В/м. Здесь также наблюдается скачок напряжённости при выходе из диэлектрика в вакуум.

Проверка и описание графика:

Функция E(r) имеет вид C/r² в каждой области, но с разными коэффициентами C. График состоит из трёх ветвей гиперболы второго порядка.

1. При r→0 напряжённость стремится к бесконечности (точечный заряд).
2. В интервале (0;0.05] убывает по закону 9/r² от ∞ до 3600 В/м.
3. В точке r=0.05 происходит разрыв: значение падает с 3600 до 1800 В/м.
4. В интервале [0.05;0.06] убывает по закону 4.5/r² от 1800 до 1250 В/м.
5. В точке r=0.06 происходит разрыв: значение подскакивает с 1250 до 2500 В/м.
6. В интервале [0.06;∞) убывает по закону 9/r² от 2500 до 0.

Расчёты корректны, граничные условия выполнены.