ГДЗ по информатике, 6 класс, Босова, номер 8.9: Понятие как форма мышления

Рассмотрим последовательность а) : 2,4,6,8,10,…

Здесь каждое следующее число получается прибавлением двойки к предыдущему (2+2=4, 4+2=6 и т.д.). Все числа в этой цепочке делятся на 2 без остатка. Значит, это чётные натуральные числа .

Теперь посмотрим на последовательность б) : 2,4,8,16,32,…

Здесь каждое следующее число получается умножением предыдущего на 2 (2·2=4, 4·2=8 и т.д.). Это степени двойки: 2¹,2²,2³,2⁴,2⁵. Хотя все эти числа тоже чётные, способ их образования (умножение) отличается от способа в пункте а) (прибавление). Однако, если искать общее свойство с другими пунктами, стоит обратить внимание на то, что они начинаются с одного и того же числа или имеют похожую структуру роста.

Последовательность в) : 1,2,3,4,5,…

Это ряд натуральных чисел по порядку. Каждое следующее число больше предыдущего на 1. Здесь есть как чётные, так и нечётные числа.

Последовательность г) : 2,5,8,11,14,…

Проверим разницу между соседними членами: 5-2=3, 8-5=3, 11-8=3. Это арифметическая прогрессия с шагом 3. Числа здесь чередуются по признаку чётности: чётное, нечётное, чётное... Поэтому их нельзя назвать только чётными или только нечётными.

Давайте сравним все варианты между собой:

• а) и б) : Оба начинаются с числа 2. В обоих случаях все члены являются степенями числа 2? Нет, в пункте а) 6 не является степенью двойки. Являются ли они обеими арифметическими прогрессиями? Пункт а) — да (шаг 2), пункт б) — нет (геометрическая прогрессия).
• а) и г) : Обе являются арифметическими прогрессиями. В пункте а) шаг равен 2, в пункте г) шаг равен 3. Общее свойство: это арифметические прогрессии (или последовательности, где разность между соседними членами постоянна).
• в) и г) : В пункте в) шаг 1, в пункте г) шаг 3. Тоже арифметические прогрессии.
• а) и в) : В пункте а) только чётные, в пункте в) все натуральные. Не подходят под единое простое свойство типа «только чётные».

Однако, в школьном курсе информатики часто рассматривают более простые признаки. Посмотрим ещё раз на а) и б) . Они оба состоят из чётных чисел . Но в в) есть нечётные, в г) есть нечётные. Значит, свойство «быть чётным числом» объединяет только а) и б)? Да, но это тривиально. Есть ли другое?

Давайте посмотрим на а) и г) снова. И там, и там числа растут равномерно. Арифметическая прогрессия — это сильное математическое понятие. Но для 6 класса чаще используют понятия «натуральные», «чётные», «нечётные», «кратные».

Обратим внимание на а) и в) . В в) записаны все натуральные числа подряд. В а) — только чётные. Это разные множества.

А теперь посмотрим на а) и б) через призму деления. Все числа в а) делятся на 2. Все числа в б) делятся на 2. Это общее свойство: все элементы последовательности являются чётными числами .

Есть ли другие пары? в) и г) ? В в) есть нечётные, в г) есть нечётные. Не подходит.

Может быть, вопрос в том, какие последовательности образованы одним правилом? - а) a_n=2n - б) b_n=2ⁿ - в) c_n=n - г) d_n=3n-1 (проверим: при n=1, 3(1)-1=2; при n=2, 3(2)-1=5... верно). Сравним формулы. Ни одна пара не имеет одинаковой формулы. Вернёмся к логике понятий. Понятие «Чётное число» включает в себя элементы последовательностей а) и б). Понятие «Натуральное число» включает все четыре. Но задание просит найти такие, которые образованы с помощью одного и того же общего для них свойства , отличающего их от других или выделяющего пару. Чаще всего в таких задачах 6 класса подразумевается следующая классификация: 1. Последовательности а) и б) состоят исключительно из чётных чисел . (Хотя в б) это степени двойки, они всё равно чётные). 2. Последовательности в) и г) содержат как чётные, так и нечётные числа. Но есть и другой взгляд. Посмотрите на а) и г) . Это арифметические прогрессии. в) тоже арифметическая прогрессия. б) — геометрическая. Тогда а), в), г) можно объединить свойством «арифметическая прогрессия». Но задание говорит «среди них такие», во множественном числе, обычно подразумевая пару. Давайте проверим свойство «Все числа положительные». Это верно для всех четырёх. Наиболее вероятный ответ для уровня 6 класса, основанный на простом наблюдении за составом элементов: Последовательности а) и б) образованы из чётных чисел . Это их общее свойство, которое отличает их от в) и г), где встречаются нечётные числа. Также можно рассмотреть пару а) и в) ? Нет. Ещё один вариант: а) и г) — это последовательности, где каждый следующий элемент получается прибавлением постоянного числа (разности). В в) тоже прибавляется постоянное число (1). В б) — умножается. Если считать, что «образованы с помощью одного правила» означает тип прогрессии, то а), в), г) — арифметические. Но обычно ищут пару. Если нужно выбрать именно одну пару с уникальным общим свойством, то наиболее ярким является признак чётности для а) и б). Однако, в пункте б) числа растут очень быстро, а в а) медленно. Давайте посмотрим на условие внимательнее: «найдите среди них такие, которые образованы с помощью одного и того же общего для них свойства». Свойство для а) : кратны 2. Свойство для б) : кратны 2 (и являются степенями двойки). Свойство для в) : натуральные числа. Свойство для г) : дают остаток 2 при делении на 3 (или просто арифметическая прогрессия с шагом 3). Пара а) и б) обладает общим свойством: все члены последовательности являются чётными числами . Пара а) и в) ? Нет. Пара в) и г) ? Нет. Можно ли сказать, что а) и г) обладают свойством «арифметическая прогрессия»? Да. Но в) тоже арифметическая прогрессия. Тогда это свойство не выделяет пару, а группу из трёх. Поэтому наиболее корректным выделением пары является признак чётности для а) и б). Ответ: Последовательности а) и б) образованы с помощью общего свойства: все числа в этих последовательностях являются чётными . (Примечание: Также допустимо рассматривать а) и г) как арифметические прогрессии, но тогда в) выпадает из логики «пары», либо нужно включать в) в эту группу. Признак чётности для а) и б) является более строгим ограничением, так как в) и г) его не удовлетворяют полностью.)