Решение уравнения log_{1/2}(2 sin x) + log_{1/2}(\sqrt{3} cos x) = -1 на отрезке [0, 5π/2]

Решаем уравнение:

log_{1/2}(2 \sin x) + log_{1/2}(\sqrt{3} \cos x) = -1

Разберём его аккуратно и подробно.

---

1. Область допустимых значений (ОДЗ) Логарифм существует только при положительном аргументе. В нашем уравнении есть два логарифма:

log_{1/2}(2 \sin x),   log_{1/2}(\sqrt{3} \cos x)

Поэтому необходимо:

2 \sin x > 0  ⟹  \sin x > 0
\sqrt{3} \cos x > 0  ⟹  \cos x > 0   (так как √3 > 0)

Значит, одновременно должны выполняться:

\sin x > 0,   \cos x > 0

Это выполняется только в I четверти, то есть:

0 < x < \frac{\pi}{2}  (с учётом нашего промежутка [0, 5\pi/2])

Но периодичность функций синуса и косинуса равна 2π, поэтому условия sin x > 0 и cos x > 0 будут выполняться при всех x вида:

x ∈ (0, \frac{\pi}{2}) + 2πk,   где k – целое число

Теперь учитываем отрезок по условию:

[0, 5\pi/2]

Найдем все подходящие промежутки типа (0, π/2), сдвинутые на 2πk, которые попадают в [0, 5π/2]. Для k = 0:

(0, \pi/2)

полностью лежит в [0, 5π/2]. Для k = 1:

(0 + 2π, \pi/2 + 2π) = (2π, 2π + \pi/2) = (2π, 5\pi/2)

Точка 5π/2 – правая граница нашего отрезка, она включена, но нам нужно строго sin x > 0 и cos x > 0, то есть x не должен быть равен граничным точкам (где sin или cos обращаются в ноль). В 5π/2:

\sin(5\pi/2) = 1,   \cos(5\pi/2) = 0

Косинус равен нулю, значит √3 cos x = 0, логарифм не определён. Поэтому 5π/2 в ОДЗ не входит, у нас именно открытый интервал:

(2π, 5\pi/2)

Для k = -1 и более отрицательных k, а также k ≥ 2, отрезки выйдут за пределы [0, 5π/2], поэтому они не рассматриваются. Таким образом, ОДЗ на данном промежутке:

x ∈ (0, \pi/2) ∪ (2π, 5\pi/2)

---

2. Преобразуем само уравнение Имеем:

log_{1/2}(2 \sin x) + log_{1/2}(\sqrt{3} \cos x) = -1

Слева стоит сумма логарифмов по одному и тому же основанию. Напомним формулу:

log_a u + log_a v = log_a (u·v)

Поэтому левая часть объединяется в один логарифм:

log_{1/2}((2 \sin x)·(\sqrt{3} \cos x)) = -1

Перемножаем аргументы:

(2 \sin x)(\sqrt{3} \cos x) = 2\sqrt{3} \sin x \cos x

Вспомним тождество:

\sin(2x) = 2 \sin x \cos x

Тогда:

2\sqrt{3} \sin x \cos x = \sqrt{3}·(2 \sin x \cos x) = \sqrt{3} \sin(2x)

Следовательно, наше уравнение принимает вид:

log_{1/2}(\sqrt{3} \sin(2x)) = -1

---

3. Свойство логарифма и переход к показательной форме По определению логарифма:

log_a b = c  ⟺  a^c = b

В нашем случае:

a = 1/2,  b = \sqrt{3} \sin(2x),  c = -1

Тогда

(1/2)^{-1} = \sqrt{3} \sin(2x)

Вычисляем левую часть:

(1/2)^{-1} = 2^1 = 2

Значит, получаем простое уравнение:

\sqrt{3} \sin(2x) = 2

Отсюда:

\sin(2x) = \frac{2}{\sqrt{3}}

Но сразу заметим, что:

\frac{2}{\sqrt{3}} ≈ 1.1547...

Однако синус любого действительного числа всегда лежит в диапазоне:

-1 ≤ \sin(2x) ≤ 1

Значение 2/√3 больше 1, так что это равенство для действительных x не имеет решений. На этом этапе фактически получаем, что решений как уравнения в действительных числах нет. Но обязательно нужно свериться с ОДЗ и убедиться, что мы нигде не потеряли возможные варианты.

---

4. Проверяем, не могли ли появиться «искусственные» ограничения Все преобразования были обратимыми на ОДЗ: 1. Переход от суммы логарифмов к логарифму произведения корректен при положительных аргументах логарифмов — а они у нас строго > 0 по ОДЗ. 2. Переход от log_{1/2}(A) = -1 к A = (1/2)^{-1} — это прямая запись определения логарифма, без потери решений. 3. Выражение \sin(2x) = 2/√3 выше 1 по модулю, то есть математически оно не имеет решений. Следовательно, уравнение не имеет решений нигде на действительной оси. В том числе и на отрезке:

[0, 5\pi/2]

---

5. Ответ с учётом проверки ОДЗ и всего отрезка ОДЗ на данном отрезке:

x ∈ (0, \pi/2) ∪ (2π, 5\pi/2)

На этом множестве уравнение сводится к невозможному равенству:

\sin(2x) = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1

Значит, решений нет. Итог:

На промежутке [0, 5\pi/2] уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: решений нет.