Решение уравнения log_7(x + 9) = log_7(2x - 11)
Опубликовано: 12.12.2025 09:17
Проверено экспертами Шпаргач.ру ✔
Подробное решение уравнения log_7(x + 9) = log_7(2x - 11) с разбором области допустимых значений, переходом к линейному уравнению и проверкой полученного корня.
Задание
Решить уравнение: log_7(x + 9) = log_7(2x - 11)
Решение
Решим уравнение:
Чтобы логарифмы были определены, их аргументы должны быть положительными:
Логарифмическая функция с основанием больше 1 (а 7 > 1) – строго возрастающая. Поэтому равенство логарифмов с одинаковым основанием означает равенство их аргументов:
Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение условию x > 5.5:
log_7(x + 9) = log_7(2x − 11)1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Чтобы логарифмы были определены, их аргументы должны быть положительными:
1) x + 9 > 0 ⇒ x > −9 2) 2x − 11 > 0 ⇒ 2x > 11 ⇒ x > 11/2 = 5.5Нужно, чтобы выполнялись оба условия одновременно, значит:
x > 5.5Это и есть ОДЗ: x > 11/2. 2. Используем свойство логарифмов
Логарифмическая функция с основанием больше 1 (а 7 > 1) – строго возрастающая. Поэтому равенство логарифмов с одинаковым основанием означает равенство их аргументов:
log_7(x + 9) = log_7(2x − 11) ⇔ x + 9 = 2x − 113. Решаем получившееся линейное уравнение Перенесём x в правую часть, а числа – в левую:
x + 9 = 2x − 11 9 + 11 = 2x − x 20 = xПолучили x = 20. 4. Проверка на ОДЗ
Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение условию x > 5.5:
20 > 5.5 ✔Подставим в аргументы логарифмов, чтобы убедиться, что они положительны:
x + 9 = 20 + 9 = 29 > 0 2x − 11 = 40 − 11 = 29 > 0Оба аргумента положительны, значит логарифмы определены, и корень подходит. Ответ:
x = 20
Поделиться
Похожие задачи
Решение примера 2 + 2 × 2
Подробное объяснение, как правильно решить пример 2 + 2 × 2 с учётом порядка действий в математике. Пошаговый разбор и окончательный ответ.
Решение уравнения log_7(x+9) = log_7(2x-11)
Подробное разборное решение уравнения log_7(x+9) = log_7(2x-11) с проверкой области допустимых значений и пояснениями каждого шага.
Решение уравнения log_{1/2}(2 sin x) + log_{1/2}(\sqrt{3} cos x) = -1 на отрезке [0, 5π/2]
Подробное решение тригонометрического уравнения log_{1/2}(2 sin x) + log_{1/2}(\sqrt{3} cos x) = -1 с разбором области допустимых значений и поиском всех корней на промежутке [0, 5π/2].
Решение уравнений с корнями, степенями и тригонометрическими функциями (I или II вариант, задачи №1–6)
Подробное пошаговое решение задач №1–6 из I или II варианта по теме уравнений с корнями, степенями и тригонометрическими функциями. Разбор области определения, преобразований и проверки корней.