Решение уравнения log_7(x+9) = log_7(2x-11)
Опубликовано: 12.12.2025 09:16
Проверено экспертами Шпаргач.ру ✔
Подробное разборное решение уравнения log_7(x+9) = log_7(2x-11) с проверкой области допустимых значений и пояснениями каждого шага.
Задание
решить уравнение log_7(x+9) = log_7(2x-11)
Решение
Решим уравнение:
Логарифм определён, только если его аргумент положителен. Поэтому:
Логарифмическая функция с основанием 7 (> 1) является строго возрастающей. Это означает, что если
Проверим, удовлетворяет ли x = 20 условиям ОДЗ (x > 11/2):
log_7(x + 9) = log_7(2x - 11)Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Логарифм определён, только если его аргумент положителен. Поэтому:
x + 9 > 0 ⟹ x > -9 2x - 11 > 0 ⟹ 2x > 11 ⟹ x > 11/2ОДЗ определяется как пересечение этих неравенств:
x > -9 и x > 11/2 ⟹ x > 11/2Значит, дальше рассматриваем только значения x > 11/2. Шаг 2. Используем равенство логарифмов
Логарифмическая функция с основанием 7 (> 1) является строго возрастающей. Это означает, что если
log_7 A = log_7 Bи A > 0, B > 0, то обязательно
A = B.Применяем это к нашему уравнению:
log_7(x + 9) = log_7(2x - 11) ⟹ x + 9 = 2x - 11Шаг 3. Решаем простое линейное уравнение Переносим x в одну сторону, числа — в другую:
x + 9 = 2x - 11 9 + 11 = 2x - x 20 = xПолучаем:
x = 20Шаг 4. Проверка с учётом ОДЗ
Проверим, удовлетворяет ли x = 20 условиям ОДЗ (x > 11/2):
20 > 11/2 ⟹ 20 > 5.5 — верно.Теперь подставим в аргументы логарифмов:
x + 9 = 20 + 9 = 29 > 0 2x - 11 = 40 - 11 = 29 > 0Оба аргумента положительны, значит, подстановка корректна, логарифмы существуют, и сравниваются одинаковые числа:
log_7(29) = log_7(29)Тождество выполняется, следовательно, найденное значение подходит. Ответ:
x = 20
Поделиться
Похожие задачи
Решение примера 2 + 2 × 2
Подробное объяснение, как правильно решить пример 2 + 2 × 2 с учётом порядка действий в математике. Пошаговый разбор и окончательный ответ.
Решение уравнения log_7(x + 9) = log_7(2x - 11)
Подробное решение уравнения log_7(x + 9) = log_7(2x - 11) с разбором области допустимых значений, переходом к линейному уравнению и проверкой полученного корня.
Решение уравнения log_{1/2}(2 sin x) + log_{1/2}(\sqrt{3} cos x) = -1 на отрезке [0, 5π/2]
Подробное решение тригонометрического уравнения log_{1/2}(2 sin x) + log_{1/2}(\sqrt{3} cos x) = -1 с разбором области допустимых значений и поиском всех корней на промежутке [0, 5π/2].
Решение уравнений с корнями, степенями и тригонометрическими функциями (I или II вариант, задачи №1–6)
Подробное пошаговое решение задач №1–6 из I или II варианта по теме уравнений с корнями, степенями и тригонометрическими функциями. Разбор области определения, преобразований и проверки корней.