ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 44.3: Потенциальная энергия

План решения:

Для математического маятника потенциальная энергия определяется высотой подъёма груза над положением равновесия. Максимальная потенциальная энергия достигается в крайних точках колебаний (A и C), а минимальная (равная нулю при выборе уровня отсчёта в точке равновесия) — в самой нижней точке траектории, то есть в положении равновесия.

Маятник начинает движение из крайней точки A. Ему нужно пройти путь до положения равновесия. В гармонических колебаниях время перехода от одной экстремальной точки к положению равновесия составляет одну четверть периода (T/4).

Вычисление:

Рассмотрим фазу колебаний. Пусть уравнение движения имеет вид x(t)=Acos(ωt), где x — смещение от положения равновесия. В начальный момент t=0 маятник находится в точке x=A (точка A). Потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения: E_p∼x². Минимум энергии соответствует x=0.

Найдём первое время t, когда x(t)=0:

Первое положительное решение для косинуса равно нулю достигается при аргументе π/2:

Так как циклическая частота ω=2π/T, подставим это выражение:

Проверка:

За полный период T маятник совершает полное колебание: A → C → A. Путь от крайней точки A до центра (положения равновесия) занимает ровно половину времени пути от A до C. Время от A до C составляет T/2. Следовательно, время от A до центра равно (T/2)/2=T/4. Это согласуется с физическим смыслом: в центре скорость максимальна, а потенциальная энергия минимальна.