ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер p276.7: Молекулярная физика. Тепловые явления

План решения.

Для нахождения установившейся температуры составим уравнение теплового баланса. В изолированной системе (калориметр с ничтожной теплоёмкостью) количество теплоты, отданное более горячим телом (водой), равно количеству теплоты, полученному более холодным телом (льдом). Необходимо учесть все этапы изменения состояния льда: нагревание до 0^°C, плавление и возможное дальнейшее нагревание воды из растаявшего льда. Также нужно проверить, хватит ли энергии у исходной воды для полного расплавления всего льда или система придёт к равновесию при температуре 0^°C с наличием несгоревшего льда.

Вычисление.

Дано:

• m₁=0,4 кг — масса воды;
• t₁=10^°C — начальная температура воды;
• m₂=0,6 кг — масса льда;
• t₂=-40^°C — начальная температура льда;
• c₁=4200 Дж/(кг ·^°C) — удельная теплоёмкость воды;
• c₂=2100 Дж/(кг ·^°C) — удельная теплоёмкость льда;
• λ=3,3·10⁵ Дж/кг — удельная теплота плавления льда.

Сначала определим, сколько теплоты может отдать вода при охлаждении до 0^°C:

Теперь посчитаем, сколько теплоты требуется льду, чтобы нагреться от -40^°C до 0^°C:

Сравниваем полученные значения. Видно, что Q_отд <Q_нагр (16800<50400). Это означает, что даже если вся вода охладится до 0^°C, выделившейся энергии не хватит даже для того, чтобы просто нагреть весь лёд до температуры плавления. Лёд останется холоднее 0^°C? Нет, так как вода имеет температуру выше нуля, а лёд ниже. Тепло будет передаваться от воды ко льду. Но поскольку энергии воды недостаточно для нагрева льда до 0^°C, то процесс теплопередачи остановится раньше?

Давайте пересмотрим логику. Уравнение теплового баланса предполагает, что конечная температура t_x одна и та же для всех компонентов. Если бы лёд полностью растаял и стал водой, мы бы решали другое уравнение. Здесь важно понять фазовое состояние.

Проверим гипотезу: конечная температура системы t_x=0^°C, но часть льда не растает (или наоборот, вся вода замерзнет?).

Рассмотрим случай, когда конечная температура t_x>0. Тогда весь лёд должен растаять и нагреться. Для этого нужно минимум Q_min=Q_нагр +Q_плавл.

Максимальная энергия, которую может отдать вода, остывая до 0^°C, равна 16800 Дж. Так как 16800≪248400, вариант с температурой выше 0^°C невозможен.

Рассмотрим случай, когда конечная температура t_x<0. Тогда вся вода должна замерзнуть. Энергия, выделяемая при замерзании воды и её охлаждении до t_x, должна пойти на нагрев льда до t_x. Однако вода изначально при +10^°C, а лёд при -40^°C. При контакте тепло идёт от воды ко льду. Чтобы вода замерзла, она должна отдать тепло. Но лёд забирает это тепло на свой нагрев.

Давайте проверим, сможет ли лёд нагреться хотя бы до 0^°C за счёт охлаждения воды до 0^°C? Мы уже выяснили, что нет: Q_отд =16800 Дж, а для нагрева льда до 0^°C нужно 50400 Дж. Значит, лёд не успеет прогреться до 0^°C, пока вода ещё жидкая и теплее него.

Это противоречие в рассуждениях часто возникает из-за неверного понимания направления процессов. Давайте запишем общее уравнение баланса для случая, когда конечная температура t_x находится между -40^°C и 0^°C. В этом случае вода должна была бы замерзнуть, отдав тепло на нагрев льда. Но вода не может замерзнуть, пока не остынет до 0^°C. А чтобы остыть до 0^°C, она должна отдать 16800 Дж. Эти 16800 Дж пойдут на нагрев льда. На сколько градусов нагреется лёд от этих 16800 Дж?

Начальная температура льда -40^°C. После получения 16800 Дж его температура станет:

В этот момент вода остыла до 0^°C, а лёд нагрелся до -26,7^°C. Теперь у нас есть вода при 0^°C и лёд при -26,7^°C. Дальнейший обмен теплом возможен только если вода начнёт замерзать, отдавая скрытую теплоту кристаллизации (λ), которая пойдет на нагрев льда от -26,7^°C до 0^°C.

Рассчитаем, сколько теплоты нужно льду, чтобы нагреться от -26,7^°C до 0^°C:

Эту энергию может дать только замерзание части воды. Пусть замёрзнет масса m_зам. Теплота, выделенная при этом:

Приравняем Q_крист к оставшемуся необходимому теплу для нагрева льда до 0^°C:

Так как m_зам =0,102 кг меньше общей массы воды m₁=0,4 кг, то замерзнёт только часть воды. Процесс остановится, когда весь лёд нагреется до 0^°C, а часть воды превратится в лёд при 0^°C0^\circ\text{C}.</p><p><strong>Проверка.</strong></p><p>Итак, конечное состояние: температураt = 0^\circ\text{C}. Часть воды (~0{,}1кг) замерзла, превратившись в лёд. Исходный лёд (0{,}6кг) нагрелся до0^\circ\text{C}. Оставшаяся вода (0{,}3кг) также имеет температуру0^\circ\text{C}.</p><p>Проверим баланс энергии:</p><ul><li>Отдала вода при охлаждении до0^\circ\text{C}:16800Дж.</li><li>Отдала часть воды при кристаллизации:0{,}102 \cdot 330000 \approx 33660Дж.</li><li>Всего отдала система «вода»:16800 + 33660 = 50460Дж.</li><li>Получил лёд при нагреве от-40^\circ\text{C}до0^\circ\text{C}:50400Дж.</li></ul><p>Разница в60Дж обусловлена округлением значений ( m_{зам}взято приблизительно). Баланс сходится. Поскольку в системе сосуществуют лёд и вода, температура обязательно равна0^\circ\text{C}$.