ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 905: система окружность и прямая

План решения.

Чтобы доказать максимальность отрезка BC, выразим его длину через проекции радиусов на прямую BC. Пусть H₁ и H₂ — основания перпендикуляров, опущенных из центров O₁ и O₂ на хорду BC. По свойству перпендикуляра к хорде, точки H₁ и H₂ являются серединами соответствующих хорд. Длина отрезка BC равна сумме длин BH₁ и CH₂ (или разности, в зависимости от взаимного расположения окружностей, но для максимума важна проекция). Более удобный подход: рассмотреть вектор BC. Его длина максимальна, когда направление вектора совпадает с направлением наибольшей возможной проекции. Воспользуемся подсказкой: сравним расстояние между параллельными прямыми, содержащими перпендикуляры, с длиной линии центров.

Вычисление и доказательство.

Проведем перпендикуляры O₁H₁botBC и O₂H₂botBC. Тогда H₁ — середина хорды AB (где A — вторая точка пересечения прямой с первой окружностью, но по условию прямая проходит через точку пересечения окружностей, пусть это будет точка P, тогда хорда первой окружности PB, а второй PC). Уточним обозначения согласно условию: прямая проходит через точку пересечения P, пересекает первую окружность в B, вторую в C. Значит, PB — хорда первой окружности, PC — хорда второй. Пусть M — середина PB, N — середина PC. Тогда O₁MbotPB и O₂NbotPC. Так как B,P,C лежат на одной прямой, то O₁MbotBC и O₂NbotBC. Следовательно, O₁M∥O₂N. Рассмотрим проекцию отрезка O₁O₂ на прямую BC. Пусть угол между прямой BC и линией центров O₁O₂ равен β. Длина проекции O₁O₂ на BC равна |O₁O₂|ββ? Нет, проекция равна |O₁O₂|ββ некорректно. Проекция вектора O₁O₂ на ось BC равна d=|O₁O₂|ββ. Давайте используем другой метод, более геометрический и строгий. Введем систему координат или воспользуемся теоремой косинусов. Пусть R₁ и R₂ — радиусы окружностей. Точка P лежит на обеих окружностях. PB=2R₁ββ, где β — угол между хордой PB и диаметром, проходящим через P? Не совсем. Вернемся к указанию. Проведем O₁H₁botBC и O₂H₂botBC. H₁ — середина PB, H₂ — середина PC. Тогда PH₁=1/2PB, PH₂=1/2PC. Отрезок BC=BP+PC=2PH₁+2PH₂=2(PH₁+PH₂). Заметим, что H₁ и H₂ лежат на прямой BC. Расстояние между ними H₁H₂=|PH₁-PH₂| или PH₁+PH₂ в зависимости от того, по разные ли стороны от P лежат центры проекций. Но P общая точка. Рассмотрим четырехугольник O₁H₁H₂O₂. Это прямоугольная трапеция (так как O₁H₁∥O₂H₂). Спроектируем отрезок O₁O₂ на прямую BC. Длина проекции равна длине отрезка H₁H₂. Из геометрии известно, что проекция отрезка на прямую не превышает самого отрезка: H₁H₂ββ. Однако нам нужно связать BC с O₁O₂. Давайте рассмотрим векторы. BC=BP+PC. Длина BP зависит от угла наклона прямой к радиусу O₁P. Если провести диаметр PD₁ через P в первой окружности, то △PBD₁ прямоугольный (ββ), и BP=PD₁ββ=2R₁ββ, где β — угол между BC и PD₁. Аналогично, если провести диаметр PD₂ во второй окружности, то PC=2R₂ββ, где β — угол между BC и PD₂. Это сложно. Используем подсказку напрямую. Расстояние между параллельными прямыми O₁H₁ и O₂H₂ равно длине проекции отрезка O₁O₂ на перпендикуляр к ним, то есть на прямую BC. Обозначим эту проекцию x. То есть x=H₁H₂ (если центры по одну сторону от P относительно перпендикуляров, но они всегда по одну сторону от хорды). На самом деле, H₁ и H₂ — проекции центров на хорду. Вектор H₁H₂ является проекцией вектора O₁O₂ на прямую BC. Следовательно, |H₁H₂|ββ. Как связано BC с H₁H₂? H₁ — середина PB, H₂ — середина PC. Если точки B и C лежат по разные стороны от P (что верно для секущей, проходящей через пересечение, если центры расположены так, что окружности пересекаются "боком"), то порядок точек на прямой может быть B-P-C или P-B-C. В общем случае, BC=|BPββPC|. BP=2BH₁, PC=2CH₂. Рассмотрим случай, когда BC параллелен O₁O₂. Тогда перпендикуляры O₁H₁ и O₂H₂ перпендикулярны O₁O₂. Четырехугольник O₁H₁H₂O₂ становится прямоугольником. Тогда H₁H₂=O₁O₂. Также, при параллельности BC∥O₁O₂, углы наклона хорд к диаметрам фиксированы. Докажем неравенство. Пусть β — угол между прямой BC и линией центров O₁O₂. Проекция O₁O₂ на BC равна O₁O₂ββ. Эта проекция равна расстоянию между основаниями перпендикуляров H₁ и H₂, то есть H₁H₂=O₁O₂ββ. Выразим BC через H₁H₂. Вектор BC=BP+PC. BP=2H₁P, PC=2PH₂. BC=2(H₁P+PH₂)=2H₁H₂. Это верно только если P лежит между H₁ и H₂? Нет. H₁ — середина BP. Вектор BH₁=H₁P. BP=2H₁P. H₂ — середина PC. PH₂=H₂C. PC=2PH₂. BC=BP+PC=2H₁P+2PH₂=2(H₁P+PH₂)=2H₁H₂. Это соотношение векторов верно всегда! То есть длина BC=2H₁H₂. Мы установили, что H₁H₂ — это проекция отрезка O₁O₂ на прямую BC. Длина проекции отрезка на прямую максимальна и равна самому отрезку тогда и только тогда, когда прямая параллельна отрезку. То есть H₁H₂ββ. Максимум достигается при ββ. Следовательно, BC=2H₁H₂ββ. Максимальное значение BC равно 2O₁O₂ и достигается, когда BC∥O₁O₂.

Проверка.

Если BC∥O₁O₂, то перпендикуляры O₁H₁ и O₂H₂ перпендикулярны O₁O₂. Отрезок H₁H₂ равен O₁O₂. Тогда BC=2O₁O₂. Для любой другой позиции прямой угол β≠0, ββ<1, значит H₁H₂<O₁O₂, и BC<2O₁O₂. Логика верна.