ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 906: система окружность и прямая
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Екатерина Новикова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
AB — диаметр окружности с центром O. На каждом радиусе OM отложен отрезок, равный расстоянию от конца M этого радиуса до прямой AB. Найти множество концов построенных отрезков.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения множества точек введем систему координат. Пусть центр окружности O совпадает с началом координат (0;0), а диаметр AB лежит на оси абсцисс (Ox). Тогда уравнение данной окружности радиуса R имеет вид x2+y2=R2. Любая точка M на этой окружности имеет координаты (xM;yM), где yM — это расстояние от точки M до прямой AB (так как прямая AB есть ось Ox, то расстояние равно модулю ординаты |yM|).
Вычисление и вывод уравнения.
| По условию задачи, на каждом радиусе OM откладывается отрезок длиной, равной расстоянию от конца M до прямой AB. Обозначим конец этого отрезка за точку P. Так как точка P лежит на радиусе OM, вектор OP коллинеарен вектору OM. Длина отрезка OP равна длине отрезка, который мы отложили, то есть </th><th>OP</th><th>=</th><th>yM</th><th>. | ||||
|---|---|---|---|---|
| Рассмотрим полярные координаты или геометрические свойства. Пусть угол между радиусом OM и осью AB равен θ. Тогда координаты точки M: xM=R cosθ, yM=R sinθ. Расстояние от M до AB равно | R \\sin \theta | . | ||
| Точка P лежит на луче OM (или его продолжении, но так как отрезок отложен на радиусе, обычно подразумевается направление от центра к границе, либо просто длина фиксирована). В условии сказано «отложен отрезок», что означает длину OP=|yM|=|R sinθ|. | ||||
| Координаты точки P(xP;yP) можно выразить через угол θ: | ||||
| xP=OP cosθ=|R sinθ| cosθ | ||||
| yP=OP sinθ=|R sinθ| sinθ | ||||
| Давайте проанализируем формулу для квадрата расстояния от начала координат до точки P: | ||||
| x2P+y2P=OP2=(R sinθ)2=R2 sin2θ | ||||
| Это не сразу дает очевидное уравнение окружности. Попробуем другой подход, используя указание из ответа. | ||||
| Пусть CD — диаметр, перпендикулярный AB. Рассмотрим верхнюю полуплоскость (y>0). Для точки M в первой четверти угол θ in[0, pi/2]. Тогда OP=R sinθ. | ||||
| Уравнение окружности, построенной на диаметре OC (где C — точка (0;R)), имеет центр в (0;R/2) и радиус R/2. Уравнение: x2+(y-R/2)2=(R/2)2⇒x2+y2-Ry=0⇒x2+y2=Ry. | ||||
| В полярных координатах для этой окружности: r=R sinθ. | ||||
| Сравним с нашим результатом для длины OP: мы получили OP=R sinθ. Это в точности соответствует полярному уравнению окружности с диаметром OC. | ||||
| Аналогично, если точка M находится во второй четверти (θ in[ pi/2, pi]), то sinθ>0, и OP=R sinθ. Точки P будут лежать на той же окружности x2+y2=Ry (верхняя часть). | ||||
| Если точка M находится в нижней полуплоскости (y<0), то расстояние до AB равно -yM=-R sinθ (так как синус отрицателен). Длина OP=-R sinθ. Полярное уравнение r=-R sinθ описывает окружность с центром в (0;-R/2) и радиусом R/2, то есть окружность, построенную на диаметре OD. | ||||
| Таким образом, множество концов отрезков состоит из двух окружностей: |
- Окружность с диаметром OC (в верхней полуплоскости относительно AB);
- Окружность с диаметром OD (в нижней полуплоскости относительно AB).
Проверка.
Возьмем крайние случаи. Если M совпадает с A или B (точки на оси AB), то расстояние от M до AB равно 0. Значит, отрезок OP имеет длину 0, и точка P совпадает с центром O. Обе найденные окружности проходят через начало координат O, так как их диаметры OC и OD начинаются в O. Это согласуется.
Если M совпадает с C (точка (0;R)), то расстояние до AB равно R. Отрезок OP отложен на радиусе OC, значит P совпадает с C. Окружность с диаметром OC проходит через точку C. Согласуется.
Если M совпадает с серединой дуги AC (угол 45
circ), то yM=R
frac
sqrt22. Длина OP=R
frac
sqrt22. Координаты P: xP=R rac
sqrt22
cdot rac
sqrt22= racR2, yP= racR2. Проверим, лежит ли точка ( racR2; racR2) на окружности x2+y2=Ry:
( racR2)2+( racR2)2= racR24+ racR24= racR22.
R
cdotyP=R
cdot racR2= racR22.
Равенство выполняется. Решение верно.
Множество концов построенных отрезков представляет собой две окружности, построенные на радиусах, перпендикулярных диаметру AB, как на диаметрах.
Задача сводится к переводу геометрического условия в алгебраическое уравнение. Ключевой момент — понимание того, что длина отложенного отрезка зависит от проекции радиуса на перпендикуляр к диаметру. Использование полярных координат или параметрических уравнений позволяет легко увидеть соответствие с уравнением окружности вида r=a
sinθ.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 906 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 906?
Краткий ответ: Множество концов построенных отрезков представляет собой две окружности, построенные на радиусах, перпендикулярных диаметру AB, как на диаметрах.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе IX.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.