ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 910: подобие треугольников

План решения.

Для доказательства равенства BD²=AB·BC-AD·DC воспользуемся методом вспомогательной окружности. Пусть E — точка пересечения продолжения биссектрисы BD с описанной около треугольника ABC окружностью. Нам нужно связать отрезки хорд и сторон треугольника через подобие треугольников.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольники ABE и DBC.
1) Угол ∠ABE равен углу ∠DBC, так как BD — биссектриса угла B (∠ABD=∠CBD).
2) Углы ∠BAE и ∠BDC не равны напрямую, но рассмотрим углы, опирающиеся на одну дугу. Угол ∠EAC (или часть его) и угол ∠EBC опираются на дугу EC. Однако более удобно сравнить △ABE и △ADC? Нет, по указанию сравниваем △ABE и △DBC.
Давайте проверим углы для подобия △ABE∼△DBC:
- ∠ABE=∠DBC (по определению биссектрисы).
- ∠BAE и ∠BCD? Нет. Посмотрим на ∠AEB и ∠CDB? Тоже нет.
Вспомним свойство вписанных углов: ∠BAE опирается на дугу BE. ∠BCD опирается на дугу BD? Нет, это угол треугольника.
Давайте используем другое известное свойство: ∠DAC=∠DBC (опираются на дугу DC)? Нет, ∠DAC и ∠DBC опираются на разные дуги.
Вернемся к классическому подобию. Рассмотрим △ABD и △EBC?
Указание говорит: «Воспользоваться подобием треугольников ABE и BCD».
Проверим углы △ABE и △DBC:
1. ∠ABE=∠DBC (так как BD — биссектриса, то есть ∠ABD=∠CBD, а точка E лежит на прямой BD, значит ∠ABE совпадает с ∠ABD).
2. ∠BAE опирается на дугу BE. ∠BCD опирается на дугу BD? Нет. Но ∠BCE опирается на дугу BE. Значит ∠BAE=∠BCE. Это не помогает напрямую для △DBC.

Попробуем другой путь, часто используемый в этой задаче: рассмотреть △ABD и △EBC или △ABE и △ADC?
На самом деле, стандартное доказательство использует подобие △ABE∼△ADC? Нет.
Давайте внимательно посмотрим на углы в △ABE и △DBC.
∠AEB=∠ACB (опираются на дугу AB).
∠BAE=∠BDE? Нет.

Перечитаем указание: «Пусть E — точка пересечения... Воспользоваться подобием треугольников ABE и BCD». Возможно, имеется в виду △ABE∼△DBC?
Если они подобны, то AB/DB=BE/BC⇒AB·BC=DB·BE.
Так как BE=BD+DE, то AB·BC=BD(BD+DE)=BD²+BD·DE.
Отсюда BD²=AB·BC-BD·DE.
Нам нужно доказать, что BD·DE=AD·DC.
Это верно по теореме о пересекающихся хордах! Хорды AC и BE пересекаются в точке D. Следовательно, AD·DC=BD·DE.
Подставив это в предыдущее равенство, получаем BD²=AB·BC-AD·DC.

Осталось строго обосновать подобие △ABE∼△DBC.
1) ∠ABE=∠DBC (так как BD — биссектриса ∠ABC, и E лежит на луче BD).
2) ∠BAE и ∠BDC? Нет. Сравним ∠AEB и ∠DCB?
∠AEB опирается на дугу AB. ∠ACB тоже опирается на дугу AB. Значит ∠AEB=∠ACB.
Но нам нужен угол при вершине C в треугольнике DBC, то есть ∠DCB. Это тот же самый угол ∠ACB.
Значит, ∠AEB=∠DCB.

Итак, в треугольниках ABE и DBC:
- ∠ABE=∠DBC;
- ∠AEB=∠DCB (оба равны ∠ACB).
Следовательно, △ABE∼△DBC по двум углам.

Запись вывода.

Из подобия △ABE∼△DBC следует пропорция соответствующих сторон:
AB/DB=BE/BC
Отсюда получаем произведение:
AB·BC=DB·BE
Так как точка D лежит на отрезке BE, то BE=BD+DE. Подставим это выражение:
AB·BC=BD·(BD+DE)=BD²+BD·DE
Выразим BD²:
BD²=AB·BC-BD·DE
Теперь рассмотрим точку пересечения хорд AC и BE внутри окружности. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:
AD·DC=BD·DE
Заменяем BD·DE на AD·DC в уравнении выше:
BD²=AB·BC-AD·DC
Что и требовалось доказать.