ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 912: окружность

План решения.

Для доказательства утверждения воспользуемся теоремой Птолемея. Эта теорема гласит: в любом выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Нам нужно рассмотреть четыреугольник, образованный точкой X и вершинами треугольника ABC, и применить к нему эту теорему, учитывая свойства равностороннего треугольника.

Вычисление и доказательство.

Пусть точка X лежит на дуге BC, не содержащей вершину A. Тогда четырёхугольник ABXC является выпуклым и вписанным в окружность. Его диагоналями являются отрезки AX и BC, а сторонами — AB, BX, XC и CA. Согласно теореме Птолемея для четырёхугольника ABXC справедливо равенство: AX·BC=AB·XC+AC·BX Так как треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны между собой: AB=BC=CA. Обозначим длину стороны треугольника через a. Подставим это значение в уравнение: AX·a=a·XC+a·BX Разделим обе части равенства на a (так как a≠0): AX=XC+BX Это равенство показывает, что отрезок AX равен сумме двух других отрезков BX и CX. Если бы точка X лежала на дуге AC, то аналогичным образом рассматривался бы четырёхугольник ABXC (или AXCB), где диагональю была бы BX, и мы получили бы BX=AX+CX. Если точка X лежит на дуге AB, то диагональю является CX, и верно CX=AX+BX.

Проверка.

Утверждение доказано для любого положения точки X на описанной окружности (кроме самих вершин, где один из отрезков равен нулю, что также согласуется с формулой). Мы использовали фундаментальную геометрическую теорему и алгебраические преобразования, опираясь на условие равносторонности треугольника. Результат подтверждает, что один из отрезков действительно равен сумме двух других.