ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 916: подобие треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Для доказательства теоремы Птолемея нам нужно связать длины диагоналей и сторон вписанного четырёхугольника ABCD. Ключевая идея — разбить одну из диагоналей на части так, чтобы образовались пары подобных треугольников. Мы будем использовать свойство вписанных углов: они равны, если опираются на одну и ту же дугу. Это позволит нам конструировать вспомогательную точку на диагонали и доказать равенство отношений сторон.
Ход решения.
Пусть дан вписанный в окружность четырёхугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Нам нужно доказать, что AC·BD=AB·CD+BC·AD.
1. На диагонали AC возьмём точку K такую, что △ABKbacksim△DBC. Для этого построим угол △ABK, равный углу △DBC: пусть △ABK имеет угол △BAK, равный △BDC (так как они опираются на дугу BC), и угол △ABK, равный △DBC по построению. Тогда третий угол △AKB будет равен △DCB. Из подобия △ABKbacksim△DBC следует пропорциональность соответствующих сторон:
AB/DB=BK/BC=AK/DC.Из этой пропорции выразим произведение AB·CD:
AB·CD=DB·AK. (1)2. Теперь рассмотрим другую пару треугольников. Так как △ABKbacksim△DBC, то △ABK=△DBC. Прибавим к этим углам общий угол △KBC. Получаем:
∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ABK=∠KBD.С другой стороны, углы △BCA и △BDA равны, так как опираются на дугу AB. То есть △BCK=△BDA (так как точка K лежит на AC).
Таким образом, у треугольников △BCK и △BDA два угла соответственно равны (△CBK=△DBA и △BCK=△BDA). Значит, △BCKbacksim△BDA.
Из этого подобия имеем пропорцию:
BC/BD=CK/AD=BK/BA.Выразим произведение BC·AD:
BC·AD=BD·CK. (2)3. Сложим равенства (1) и (2):
AB·CD+BC·AD=BD·AK+BD·CK=BD(AK+CK).Так как точка K лежит на отрезке AC, то AK+CK=AC. Следовательно:
AB·CD+BC·AD=BD·AC,что и требовалось доказать.
Проверка.
Логика рассуждений корректна: мы использовали только свойства вписанных углов и признаки подобия треугольников. Равенство сумм длин отрезков диагонали подтверждает итоговую формулу. Теорема верна для любого выпуклого вписанного четырёхугольника.
Доказано через построение точки K на диагонали AC и использование подобия треугольников ABK~DBC и BCK~BDA.
В условии не требуется численных ответов, задача доказательная. В решении использована классическая схема с точкой K на диагонали, указанная в подсказке.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 916 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 916?
Краткий ответ: Доказано через построение точки K на диагонали AC и использование подобия треугольников ABK~DBC и BCK~BDA.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе IX.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.