ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 920: окружность
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вера Лапина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Постройте общую касательную к двум данным окружностям.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Задача на построение общей касательной к двум окружностям является классической и решается методом подобия или через вспомогательные окружности. В зависимости от того, строим ли мы внешнюю или внутреннюю общую касательную, алгоритм немного меняется. Ниже приведено решение для внешней общей касательной (наиболее частый случай в школьном курсе), а также указано отличие для внутренней.
План решения:
- Пусть даны две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами R и r соответственно (R>r).
- Строим вспомогательную окружность с центром O1 и радиусом R-r. Эта окружность называется «окружностью разности радиусов».
- Из точки O2 проводим касательную к этой вспомогательной окружности. Точку касания обозначим K.
- Продолжаем луч O1K до пересечения с исходной большей окружностью в точке A. Это точка касания искомой прямой с первой окружностью.
- Через точку A проводим прямую, параллельную O2K. Эта прямая будет искомой общей внешней касательной.
Обоснование и вычисление:
Рассмотрим четырехугольник O1ABO2, где B — точка касания искомой прямой с меньшей окружностью. По условию построения O1A=R, O2B=r. Если мы сместим вектор O2B параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с O1, то конец этого вектора попадет в точку K на вспомогательной окружности радиуса R-r. Прямая O2K по построению касается вспомогательной окружности, значит, угол △O1KO2 прямой (△O1KO2=90o). Поскольку AKbotO2K (так как AK лежит на одной прямой с O1K, а O1KbotO2K) и ABbotO2K (свойство касательной), то прямая AB параллельна O2K. Следовательно, построенная прямая действительно является касательной к обеим окружностям.
Проверка и примечание:
Для построения внутренней общей касательной используется аналогичный метод, но вспомогательная окружность строится с радиусом R+r. Касательная из O2 к этой новой окружности дает направление, по которому затем восстанавливается искомая прямая. Важно помнить, что если одна окружность лежит внутри другой без пересечения, общих касательных не существует. Если окружности пересекаются, существуют только две внешние общие касательные. Если они касаются друг друга, добавляется одна внутренняя касательная в точке их соприкосновения.
а) Построить вспомогательную окружность с центром O1 и радиусом R-r.
б) Из центра O2 провести касательную к вспомогательной окружности.
в) Через точку касания на большой окружности провести прямую, параллельную найденной касательной.
В условии не уточняется, какая именно касательная требуется (внешняя или внутренняя), поэтому в решении дан универсальный алгоритм для внешней, с указанием метода для внутренней. Ключ учебника упоминает обе возможности (r1-r2 и r1+r2), что подтверждает необходимость рассмотрения обоих случаев или выбора одного с оговоркой.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 920 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 920?
Краткий ответ: а) Построить вспомогательную окружность с центром O_1 и радиусом R-r. б) Из центра O_2 провести касательную к вспомогательной окружности. в) Через точку касания на большой окружности провести прямую, параллельную найденной касательной.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе IX.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.