ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 925

Для решения задачи нам нужно построить треугольник ABC, основаниями высот которого являются данные точки H_1,H_2,H₃. Вспомним важное свойство: ортоцентр треугольника (точка пересечения высот) является основанием высоты для ортотреугольника. Однако здесь проще воспользоваться обратным свойством: если мы построим треугольник, у которого данные точки являются вершинами, то его ортоцентр будет связан с искомым треугольником.

Более прямой путь опирается на указание к задаче 908. Пусть искомый треугольник — ABC, а его высоты пересекаются в точке O (ортоцентре). Тогда точки H_1,H_2,H₃ лежат на сторонах BC,AC,AB соответственно, и отрезки AH_1,BH_2,CH₃ перпендикулярны этим сторонам. Рассмотрим четырехугольники, образованные вершинами треугольника и основаниями высот. Например, ABH₁H₂ не является стандартной фигурой, но известно, что треугольник, образованный основаниями высот (H₁H₂H₃), называется ортическим треугольником исходного ABC. Задача сводится к построению исходного треугольника по его ортическому треугольнику.

Свойства ортического треугольника таковы: стороны исходного треугольника перпендикулярны биссектрисам углов ортического треугольника. То есть, если даны точки H_1,H_2,H₃, образующие треугольник T=H₁H₂H₃, то стороны искомого треугольника ABC должны быть перпендикулярны биссектрисам углов треугольника T. Построим биссектрисы углов при вершинах H_1,H_2,H₃. Через каждую точку H_i проведем прямую, перпендикулярную соответствующей биссектрисе. Эти три прямые будут содержать стороны искомого треугольника. Пересечение этих трех прямых даст нам вершины A,B,C.

Однако важно учесть ориентацию. У каждого угла треугольника H₁H₂H₃ есть внутренняя и внешняя биссектрисы. Стороны исходного треугольника могут быть перпендикулярны как внутренней, так и внешней биссектрисе. Это приводит к нескольким вариантам выбора направлений нормалей. Для остроугольного исходного треугольника основания высот лежат внутри сторон. Если исходный треугольник тупоугольный, одно основание лежит на продолжении стороны. Комбинации выбора внутренних/внешних биссектрис дают различные конфигурации. Известно, что задача имеет ровно четыре решения, соответствующих разным типам треугольников (остроугольный и три тупоугольных варианта, где тупой угол находится при разных вершинах).