ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 922: система окружность и прямая
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для построения наименьшей хорды, проходящей через данную точку M внутри окружности с центром O, необходимо использовать свойство перпендикуляра к диаметру. Мы проведём диаметр через точку M, а затем восстановим перпендикуляр к этому диаметру в самой точке M. Этот перпендикуляр и будет искомой хордой.
Ход вычислений и обоснование.
1. Проведём прямую, соединяющую центр окружности O и данную точку M. Эта прямая является частью диаметра. 2. В точке M построим прямую, перпендикулярную отрезку OM. Пусть эта прямая пересекает окружность в точках A и B. Отрезок AB — искомая хорда. 3. Докажем, что любая другая хорда CD, проходящая через точку M, длиннее хорды AB. Расстояние от центра O до любой хорды равно длине перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Для хорды AB это расстояние равно OM. Для любой другой хорды CD пусть OH — перпендикуляр из O на CD. В прямоугольном треугольнике OHM гипотенуза OM всегда больше катета OH (так как точка H не совпадает с M, если хорда не перпендикулярна радиусу). Следовательно, расстояние от центра до хорды CD меньше, чем до хорды AB (OH<OM). 4. Известно, что в одной окружности большей хорде соответствует меньшее расстояние от центра. Поскольку расстояние до AB максимально среди всех хорд, проходящих через M (оно равно OM), то сама хорда AB будет минимальной по длине.
Проверка.
Если бы мы выбрали хорду, проходящую через центр (диаметр), её длина была бы максимальной (2R). Если выбрать хорду, близкую к перпендикулярной, но не строго перпендикулярную, расстояние от центра до неё станет чуть меньше OM, а значит, её длина станет чуть больше длины AB. Таким образом, условие перпендикулярности радиусу обеспечивает минимум длины хорды.
Построить диаметр через данную точку, затем восстановить перпендикуляр к нему в этой точке. Полученная хорда будет наименьшей.
Задача относится к классическим задачам на построение и свойства хорд. Ключевой момент: длина хорды обратно пропорциональна расстоянию от центра до неё. Максимальное расстояние от центра до хорды, проходящей через фиксированную точку M, достигается тогда, когда эта хорда перпендикулярна радиусу OM.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 922 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 922?
Краткий ответ: Построить диаметр через данную точку, затем восстановить перпендикуляр к нему в этой точке. Полученная хорда будет наименьшей.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе IX.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.