ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 921: система окружность и прямая
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Даны окружность с центром O, точка M и отрезки P_1Q_1 и P_2Q_2. Постройте прямую p так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную P_1Q_1, и расстояние от точки M до прямой p равнялось P_2Q_2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Задача сводится к нахождению геометрического места точек, удовлетворяющих двум условиям одновременно. Первое условие: окружность с центром O отсекает на искомой прямой p хорду, равную отрезку P1Q1. Это означает, что расстояние от центра O до прямой p должно быть фиксированным. Второе условие: расстояние от точки M до прямой p равно отрезку P2Q2. Это означает, что прямая p должна касаться окружности с центром в точке M радиуса P2Q2. Таким образом, нам нужно построить общую касательную к двум окружностям (или найти положение прямой через построение вспомогательных окружностей).
Вычисление и построение.
- Найдем расстояние d1 от центра O до хорды длиной P1Q1. Пусть R — радиус данной окружности. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и расстоянием до хорды, по теореме Пифагора имеем: d1=R2-(P1Q1/2)2 Это расстояние определяет множество всех прямых, которые отсекают на данной окружности хорду длины P1Q1. Такие прямые являются касательными к концентрической окружности ω1 с центром O и радиусом r1=d1.
- Рассмотрим второе условие. Расстояние от точки M до прямой p равно P2Q2. Значит, прямая p является касательной к окружности ω2 с центром в точке M и радиусом r2=P2Q2.
- Таким образом, задача свелась к построению общей касательной к двум окружностям ω1 (центр O, радиус r1) и ω2 (центр M, радиус r2). Для этого можно использовать метод подобия или алгебраический подход для проверки существования решения. Пусть расстояние между центрами OM=L. Общая внешняя касательная существует, если L≥|r1-r2|, а внутренняя — если L≥r1+r2. В школьной практике чаще всего требуется просто описать алгоритм построения:
- Строим окружность ω1 с центром O и радиусом r1=R2-(P1Q1/2)2.
- Строим окружность ω2 с центром M и радиусом r2=P2Q2.
- Строим общие касательные к окружностям ω1 и ω2. Эти касательные и будут искомыми прямыми p.
Проверка.
Если прямая p касается окружности ω1, то расстояние от O до p равно r1. Тогда половина хорды, отсекаемой на исходной окружности радиуса R, равна R2-r21=R2-(R2-(P1Q1/2)2)=P1Q1/2. Следовательно, вся хорда равна P1Q1. Условие выполнено. Если прямая p касается окружности ω2, то расстояние от M до p равно радиусу r2=P2Q2. Условие выполнено. Количество решений зависит от взаимного расположения окружностей ω1 и ω2: может быть 0, 1, 2, 3 или 4 решения.
Построить вспомогательную окружность ω1 с центром O и радиусом r1=R2-(P1Q1/2)2, где R — радиус данной окружности.
Построить вспомогательную окружность ω2 с центром M и радиусом r2=P2Q2.
Искомые прямые p — это общие касательные к окружностям ω1 и ω2.
Задача является классической задачей на построение методом геометрических мест точек. Ключевая идея — замена условий на касание к вспомогательным окружностям. Радиус первой вспомогательной окружности вычисляется через теорему Пифагора из условия длины хорды. Вторая окружность строится непосредственно по заданному расстоянию от точки M.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 921 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 921?
Краткий ответ: Построить вспомогательную окружность _1 с центром O и радиусом r_1 = R^2 - (P_1Q_1/2)^2, где R — радиус данной окружности. Построить вспомогательную окружность _2 с центром M и радиусом r_2 = P_2Q_2. Искомые прямые p — это общие касательные к окружностям _1 и _2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе IX.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.