ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 923: окружность

Рассмотрим задачи на построение треугольника. В обеих задачах ключевым этапом является переход к вспомогательному треугольнику или окружности, свойства которых позволяют использовать данные условия.

а) Построение по стороне, противолежащему углу и высоте

1. Пусть даны сторона a, противолежащий ей угол β и высота h_a. Сначала построим прямую, содержащую сторону BC длиной a.
2. Найдем геометрическое место точек вершины A. Поскольку угол β при основании BC фиксирован, вершина A лежит на дуге окружности, из которой хорда BC видна под углом β. Для этого строим серединный перпендикуляр к BC, находим центр O так, чтобы центральный угол был равен 2β, и проводим дугу.
3. Вершина A также должна находиться на расстоянии h_a от прямой BC. Строим прямую, параллельную BC на расстоянии h_a.
4. Точки пересечения этой параллельной с построенной дугой дают возможные положения вершины A. Соединяем найденные точки с концами отрезка BC. Треугольник построен.

б) Построение по углу, высоте и периметру

1. Даны угол β при вершине B, высота h_b и периметр P=AB+BC+CA. Этот пункт требует более сложного анализа через «развертку» периметра.
2. Продолжим сторону AB за точку B на отрезок BA₁, равный BC, а сторону CB за точку B на отрезок BC₁, равный BA. Тогда длина отрезка A₁C₁ будет равна A₁B+BC₁=BC+BA. Это не совсем периметр, поэтому используем стандартный прием для задач на периметр: продлим луч BA за точку A на отрезок AC′=AC и луч BC за точку C на отрезок CA′=CA. Но в условии указан другой способ указания.
3. Следуя подсказке: пусть нужно построить △ABC с углом B, высотой BH и периметром P. Продлим сторону AB за точку B? Нет, обычно продлевают стороны при основании. Рассмотрим указание: «Отложить AA₁=AB на продолжении луча AC». Это означает, что мы работаем с основанием AC. Пусть угол дан при вершине B. Тогда стороны BA и BC боковые. Периметр P=BA+BC+AC. Продлим AC за точку A на отрезок AA₁=AB и за точку C на отрезок CC₁=CB. Тогда отрезок A₁C₁=A₁A+AC+CC₁=AB+AC+BC=P. Таким образом, основание нового треугольника A₁BC₁ равно периметру исходного.
4. Построим треугольник A₁BC₁. Его основание A₁C₁=P. Высота из вершины B к основанию A₁C₁ равна заданной высоте h_b (так как A_1,A,C,C₁ лежат на одной прямой). Угол при вершине B в новом треугольнике связан с исходным углом β. Так как △ABA₁ равнобедренный (AB=AA₁), то θ_A1=1/2β_A? Нет, угол при вершине B исходного треугольника — это β. В новом треугольнике углы при основании A₁ и C₁ равны половинам внешних углов исходного? Давайте посмотрим внимательнее. Если AB=AA₁, то △ABA₁ равнобедренный, угол θ_A1=θ_ABA1? Нет. Внешний угол при вершине A равен сумме внутренних. Проще: угол θ_A1=1/2θ_BAC? Не совсем.
   Вернемся к классическому решению: Построим прямоугольный треугольник HBA₁? Нет.
   Построим отрезок A₁C₁=P. Восстановим перпендикуляр к нему в точке H такой, что BH=h_b. Точка B найдена. Теперь нужно найти положение точек A и C на отрезке A₁C₁. Известно, что BA=AA₁ и BC=CC₁. Значит, точка A лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BA₁, а точка C — на серединном перпендикуляре к отрезку BC₁. Также известно, что угол θ_ABC=β.
   Альтернативный путь по указанию: Построить △A₁BB₁? В указании написано «построить △A₁BB₁», где AA₁=AB на продолжении AC и CB₁=BC. Видимо, опечатка в индексах или специфичная нотация. Стандартное решение: строим треугольник с основанием P, высотой h и углом при вершине, связанным с β. Угол θ_A1BC1=90^o-β/2? Нет.
   Давайте выполним построение строго по логике периметра:
   1. Строим отрезок MN=P.
   2. Находим геометрическое место точек B, откуда отрезок MN виден под углом, который можно вычислить. В равнобедренных треугольниках MAB и NBC (где MA=AB,NB=BC) углы при основании M и N равны θ_A/2 и θ_C/2. Тогда угол θ_MBN=180^o-(θ_A/2+θ_C/2)=180^o-180^o-β/2=90^o+β/2.
   3. Строим дугу, из которой отрезок MN виден под углом 90^o+β/2.
   4. Параллельно MN на расстоянии h_b проводим прямую. Точка пересечения с дугой — вершина B.
   5. Строим серединные перпендикуляры к BM и BN. Их пересечение с MN дает точки A и C.
   6. Треугольник ABC искомый.