ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 919: система окружность и прямая

План доказательства.

Пусть ABC — данный треугольник, а M — произвольная точка на описанной около него окружности. Из точки M опустим перпендикуляры на прямые, содержащие стороны треугольника: MH⊥AB, MK⊥BC, MD⊥AC. Нам нужно доказать, что точки H, K и D лежат на одной прямой (прямая Симсона).

Ход вычислений и рассуждений.

Рассмотрим четырёхугольники, образованные точками перпендикуляров и вершинами треугольника.

1. Так как ∠MHA=90^° и ∠MDA=90^°, то точки A,H,D,M лежат на одной окружности с диаметром AM. В этой окружности вписанный угол ∠ADH опирается на дугу AH, поэтому он равен вписанному углу ∠AMH: ∠ADH=∠AMH.
2. Аналогично, так как ∠MKC=90^° и ∠MDC=90^°, то точки C,K,D,M лежат на одной окружности с диаметром MC. Вписанный угол ∠MDC опирается на дугу MC? Нет, давайте посмотрим внимательнее. Угол ∠MDC опирается на дугу MC не совсем верно. Рассмотрим угол ∠KDM. Он опирается на дугу KM. Лучше использовать углы при основании или смежные. Давайте воспользуемся подсказкой из ключа, адаптируя её к стандартному обозначению. Допустим, луч DK лежит внутри угла HDM (или наоборот, в зависимости от расположения точки M). Нам нужно показать, что сумма углов ∠HDK+∠KDM=180^° или что углы равны соответствующим элементам. Стандартный путь: В окружности AHDM: ∠HDM=∠HAM (опираются на дугу HM). В окружности CKDM: ∠KDM=∠KCM (опираются на дугу KM). Это не совсем то. Давайте через другие углы. В окружности BHMK (так как ∠BHM=∠BKM=90^°): ∠HKM=∠HBM=∠ABC. В окружности CHDK? Нет. Вернемся к классическому доказательству через равенство углов. 1. Четырехугольник ADHM вписанный (∠AHD=∠AMD? Нет, ∠AHM=∠ADM). Пусть мы хотим доказать, что ∠HDM+∠MDK=180^°? Или что H,D,K коллинеарны. Достаточно доказать, что ∠ADH=∠CDK (если D между проекциями?) или связать их с углами треугольника. Рассмотрим четырехугольник ABKH? Нет. Рассмотрим четырехугольник BHMK. Он вписанный, так как ∠BHM=∠BKM=90^°. Следовательно, внешний угол ∠CHK (если продолжить) равен внутреннему противоположному ∠BMK? Неудобно. Используем свойство вписанных углов: В окружности с диаметром AM (проходит через H,D): ∠ADH=∠AMH (оба опираются на дугу AH). В окружности с диаметром AC? Нет. В окружности с диаметром MC (проходит через K,D): ∠CDK=∠CMK (оба опираются на дугу CK). Теперь рассмотрим четырехугольник ABCM. Точки A,B,C,M лежат на одной окружности. Если точка M лежит на дуге AC, не содержащей B, то четырехугольник ABCM выпуклый. Тогда ∠AMH и ∠CMK связаны? Заметим, что ∠AMC=∠AMH+∠HMC? Нет, H на AB, K на BC. Давайте используем другой подход, более надежный. Докажем, что ∠HDM=∠KDM? Нет. Докажем, что ∠ADH=∠CDK. Из вписанного четырехугольника ADHM: ∠ADH=∠AMH. Из вписанного четырехугольника CDKM: ∠CDK=∠CMK. Нужно доказать, что ∠AMH=∠CMK. Это верно только если M симметрична относительно биссектрисы? Нет, это неверно для произвольной точки. Ошибка в выборе углов. Правильные пары: В окружности ADHM: ∠HDM=∠HAM (опираются на дугу HM). В окружности CDKM: ∠KDM=∠KCM (опираются на дугу KM). Это тоже сложно связать напрямую. Попробуем через угол ∠HDC и ∠KDC. В окружности ADHM: ∠HDA=∠HMA (дуга HA). В окружности CDKM: ∠KDC=∠KMC (дуга KC). Сумма ∠HDA+∠ADC+∠CDK? Нет, D лежит на стороне AC. Прямая AC содержит точку D. Значит, ∠ADH+∠HDC=180^°? Нет, H и K по разные стороны от AC обычно. Чтобы точки H,D,K лежали на одной прямой, необходимо, чтобы ∠ADH=∠CDK (вертикальные?) или сумма смежных была 180. Так как D лежит на прямой AC, то условие коллинеарности H-D-K эквивалентно тому, что ∠ADH=∠CDK (если H и K по одну сторону от AC) или ∠ADH+∠CDK=180? Обычно H и K находятся по разные стороны от прямой AC (если M на дуге AC). Тогда ∠ADH и ∠CDK должны быть равны, чтобы прямые DH и DK составили одну прямую (как вертикальные к продолжению?). Нет, они должны быть смежными с одним углом. Если H,D,K на одной прямой, то ∠ADH=∠CDK (вертикальные углы, если AC пересекает HK в D). Да, именно так. Итак, цель: доказать ∠ADH=∠CDK. 1) ∠ADH=∠AMH (вписанные в окр. ADHM, опираются на дугу AH). 2) ∠CDK=∠CMK (вписанные в окр. CDKM, опираются на дугу CK). 3) Нужно доказать ∠AMH=∠CMK. Это неверно в общем случае. Где ошибка? Ошибка в выборе дуг. В окр. ADHM: угол ∠ADH опирается на дугу AH. Угол ∠AMH опирается на дугу AH. Верно. В окр. CDKM: угол ∠CDK опирается на дугу CK. Угол ∠CMK опирается на дугу CK. Верно. Почему ∠AMH≠∠CMK? Потому что MH⊥AB и MK⊥BC. Треугольники AMH и CMK прямоугольные. ∠AMH=90^°-∠MAH. ∠CMK=90^°-∠MCK. Нужно доказать ∠MAH=∠MCK. ∠MAH — это угол ∠MAB. ∠MCK — это угол ∠MCB. В описанной окружности треугольника ABC для точки M на дуге AC (не содержащей B): Углы ∠MAB и ∠MCB опираются на одну и ту же дугу MB? Нет. ∠MAB опирается на дугу MB (часть окружности без A). ∠MCB опирается на дугу MB (часть окружности без C). Да! Вписанные углы ∠MAB и ∠MCB опираются на одну и ту же дугу MB. Следовательно, они равны. Значит, ∠MAH=∠MCK. Отсюда следует, что ∠AMH=∠CMK. А значит, ∠ADH=∠CDK. Поскольку D лежит на прямой AC, а H и K лежат по разные стороны от неё (при условии, что M на дуге AC), равенство этих углов означает, что лучи DH и DK являются продолжениями друг друга. То есть H,D,K лежат на одной прямой.

   Проверка и вывод.

   Мы использовали свойства вписанных углов в двух вспомогательных окружностях (с диаметрами AM и MC) и основное свойство вписанного четырехугольника ABCM. Логическая цепочка замкнута: равенство углов при вершине M в прямоугольных треугольниках проецируется на равенство углов при точке D, что доказывает коллинеарность точек основания перпендикуляров. Теорема доказана.