ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 915: окружность

План решения.

Для доказательства нам потребуется использовать два ключевых факта о прямоугольной трапеции, описанной около окружности. Во-первых, вспомним свойство описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны. Во-вторых, воспользуемся формулой площади трапеции через радиус вписанной окружности и полупериметр. Обозначим основания трапеции как a и b, а боковые стороны — как c (боковая сторона под прямым углом к основаниям) и d (наклонная боковая сторона).

Вычисление и доказательство.

Так как трапеция описана около окружности, выполняется равенство сумм противоположных сторон: a+d=b+c Отсюда выразим сумму оснований через боковые стороны или наоборот. Однако более удобный путь — рассмотреть площадь. Площадь любой трапеции вычисляется по формуле: S=a+b/2·h где h — высота трапеции. В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям, является высотой. То есть h=c. С другой стороны, для любого описанного многоугольника площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности (r): S=p·r=a+b+c+d/2·r Используем свойство описанного четырехугольника a+d=b+c. Тогда периметр P=a+b+c+d=(a+d)+(b+c)=2(b+c) или 2(a+d). Но давайте посмотрим на высоту c. В прямоугольной трапеции с вписанной окружностью диаметр окружности равен высоте трапеции, то есть 2r=c. Подставим это в формулу площади через основание и высоту: S=a+b/2·c=a+b/2·2r=(a+b)r Теперь нужно связать r с основаниями a и b. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности и концами отрезка касания на боковой стороне c. Или проще: используем теорему Пифагора для наклонной стороны d. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник с катетами h=c=2r и разностью оснований |a-b| (предположим b>a). Гипотенуза равна d. Из свойства касательных: если точки касания делят боковую сторону c на отрезки r и r (так как углы при основании прямые, центр лежит на биссектрисе прямого угла? Нет, в прямоугольной трапеции центр вписанной окружности лежит на биссектрисе острых и тупых углов. Для прямой стороны c: проекция центра на c делит её пополам, так как углы при ней прямые? Не совсем. Давайте через касательные). Пусть точки касания на основаниях a и b находятся на расстоянии x и y от вершин с прямыми углами. Так как углы прямые, то отрезки касательных от этих вершин равны радиусу r. Значит, часть основания a, прилегающая к прямой стороне, равна r. Часть основания b, прилегающая к прямой стороне, тоже равна r. Тогда оставшаяся часть основания a равна a-r, а оставшаяся часть основания b равна b-r. Эти части являются отрезками касательных от других вершин до точек касания с наклонной стороной d. Следовательно, длина наклонной стороны d=(a-r)+(b-r)=a+b-2r. Вернемся к свойству описанного четырехугольника: a+d=b+c. Подставим d и c=2r: a+(a+b-2r)=b+2r 2a+b-2r=b+2r 2a=4rimpliesr=a/2 Это верно только если a=b (прямоугольник), что противоречит условию трапеции. Где ошибка? Ошибка в предположении, что отрезки касательных от вершин с прямыми углами равны r. Это верно. Но тогда d=(a-r)+(b-r) верно. И c=2r верно. Перепроверим равенство a+d=b+c. a+a+b-2r=b+2r 2a=4r⇒r=a/2. Это значит, что меньшее основание равно диаметру? Да, в прямоугольной трапеции, если провести диагональ... нет. Давайте иначе. Из условия задачи требуется доказать S=ab. Мы знаем S=a+b/2·c. Нам нужно доказать, что a+b/2·c=ab. Так как c=2r, то нужно доказать (a+b)r=ab, откуда r=ab/a+b. Докажем, что r=ab/a+b. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный продолжением боковых сторон до пересечения? Нет. Воспользуемся тем, что центр вписанной окружности O лежит на биссектрисе угла A (острый угол при наклонной стороне?). Нет, углы при прямой стороне 90^°. Углы при наклонной стороне α и 180^°-α. Биссектрисы углов при прямой стороне пересекаются в центре O. Расстояние от O до прямой стороны равно r. Расстояние от O до оснований равно r. Проведем отрезки от центра O к вершинам трапеции. Трапеция разбивается на 4 треугольника с общей высотой r и основаниями a,b,c,d. S=1/2ar+1/2br+1/2cr+1/2dr=r/2(a+b+c+d). Так как a+d=b+c, то S=r(a+b). Нам нужно доказать S=ab. Значит, должно выполняться r(a+b)=ab, или r=ab/a+b. Как получить r=ab/a+b? Рассмотрим подобие треугольников. Пусть K — точка касания на наклонной стороне d. Отрезки касательных от вершины B (между основанием b и стороной d) равны b-r. Отрезки касательных от вершины A (между основанием a и стороной d) равны a-r. Угол AOB (где A и B — концы наклонной стороны?) Нет, пусть M и N — вершины при наклонной стороне. Центр O. Треугольник MON прямоугольный? Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Да, △MON прямоугольный с гипотенузой MN=d и высотой OK=r, опущенной на гипотенузу. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: r²=MK·KN. MK=a-r, KN=b-r. Значит, r²=(a-r)(b-r). r²=ab-ar-br+r². 0=ab-r(a+b). r(a+b)=ab. r=ab/a+b. Теперь подставим найденное r в формулу площади S=r(a+b): S=ab/a+b·(a+b)=ab Что и требовалось доказать.

Проверка.

Возьмем конкретный пример. Пусть прямоугольная трапеция имеет основания a=3 и b=6. Найдем радиус вписанной окружности по формуле r=3·6/3+6=18/9=2. Высота c=2r=4. Наклонная сторона d=a+b-2r=3+6-4=5. Проверим теорему Пифагора для треугольника с катетами c=4 и разностью оснований b-a=3: 3²+4²=5², все сходится. Площадь трапеции по обычной формуле: S=3+6/2·4=4.5·4=18. Произведение оснований: a·b=3·6=18. Равенство выполнено.