ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 913: прямоугольный треугольник

План решения.

Для доказательства теоремы о перпендикулярных диагоналях вписанного четырёхугольника воспользуемся методом вспомогательной конструкции. Нам нужно связать длины сторон AB, BC, CD и DA с диаметром окружности 2R. Согласно указанию, проведём диаметр из одной из вершин (например, из вершины B) до точки B₁ на окружности. Затем докажем равенство некоторых хорд и применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному диаметром и хордой.

Ход доказательства.

Пусть дан вписанный четырёхугольник ABCD с центром описанной окружности O и радиусом R. Диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом: AC⊥BD. Проведём диаметр BB₁. Соединим точку B₁ с точками A и C.

1. Рассмотрим углы, опирающиеся на дуги. Так как BB₁ — диаметр, то угол ∠BAB₁=90^° (опирается на диаметр). Аналогично, ∠BCB₁=90^°.
2. Докажем, что AB₁=CD. Для этого сравним дуги, которые стягивают эти хорды. Угол ∠ABB₁ опирается на дугу AB₁. Угол ∠CBD опирается на дугу CD. В прямоугольном треугольнике, образованном пересечением диагоналей (пусть точка пересечения K), имеем △BKC с прямым углом при K. Значит, ∠KBC+∠KCB=90^°, то есть ∠DBC+∠ACB=90^°. С другой стороны, так как BB₁ — диаметр, то ∠BAB₁=90^°. В прямоугольном треугольнике △ABK (где K — точка пересечения диагоналей) сумма острых углов равна 90^°: ∠ABK+∠BAK=90^°, то есть ∠ABD+∠BAC=90^°. Однако более простой путь через параллельность или равенство углов: Заметим, что ∠B₁BA и ∠DBA не обязательно равны напрямую. Посмотрим на углы, опирающиеся на одну дугу. ∠B₁CA опирается на дугу B₁A. ∠B₁DA опирается на дугу B₁A. Давайте используем свойство перпендикулярности диагоналей. Пусть AC⊥BD. Тогда ∠AOB (центральный) не равен просто так. Вернемся к классическому доказательству через углы. ∠AB₁B=∠ACB (опираются на дугу AB). Так как AC⊥BD, то в △OCK (если бы был центр)... нет, проще: Рассмотрим ∠CB₁B. Он опирается на дугу CB. Значит, ∠CB₁B=∠CAB. Рассмотрим ∠AB₁B. Он опирается на дугу AB. Значит, ∠AB₁B=∠ADB. Это сложно. Используем указание напрямую: доказать AB₁=CD. Это равносильно тому, что дуга AB₁ равна дуге CD. Дуга AB₁ соответствует центральному углу ∠AOB₁ или вписанному ∠AB₁B? Нет, длина хорды определяется дугой. Проверим равенство вписанных углов, опирающихся на эти дуги. Угол ∠ABB₁ опирается на дугу AB₁. Угол ∠CAD опирается на дугу CD. Нужно доказать ∠ABB₁=∠CAD. Так как BB₁ — диаметр, то ∠BAB₁=90^°. Значит, ∠ABB₁=90^°-∠BAB₁? Нет, в △ABB₁ угол при A прямой. Значит, ∠ABB₁=90^°-∠AB₁B. А ∠AB₁B=∠ACB (оба опираются на дугу AB). Итак, ∠ABB₁=90^°-∠ACB. Теперь посмотрим на угол ∠CAD. Он опирается на дугу CD. В прямоугольном треугольнике △AKD (где K — точка пересечения диагоналей, ∠AKD=90^°): ∠CAD=90^°-∠ADK=90^°-∠ADB. Мы получили два выражения: 1) ∠ABB₁=90^°-∠ACB 2) ∠CAD=90^°-∠ADB В вписанном четырехугольнике ∠ACB и ∠ADB опираются на одну и ту же дугу AB. Следовательно, ∠ACB=∠ADB. Отсюда следует, что ∠ABB₁=∠CAD. Так как вписанные углы равны, то равны и опирающиеся на них дуги: дуга AB₁ = дуга CD. Следовательно, хорды, стягивающие эти дуги, равны: AB₁=CD.
3. Теперь рассмотрим треугольник △ABB₁. Так как BB₁ — диаметр, то ∠BAB₁=90^°. По теореме Пифагора: AB²+AB21=BB21 Подставим найденное равенство AB₁=CD: AB²+CD²=(2R)² То есть сумма квадратов противоположных сторон AB и CD равна квадрату диаметра.
4. Аналогично можно доказать для второй пары сторон. Проведем диаметр DD₁ (или используя симметрию задачи). Но нам нужно доказать, что сумма квадратов любых двух противоположных сторон равна квадрату диаметра? Нет, в условии сказано «сумма квадратов противоположных сторон». Обычно это означает AB²+CD²=BC²+AD²=4R². Давайте проверим вторую пару. Рассмотрим △CBB₁. Угол ∠BCB₁=90^° (опирается на диаметр BB₁). По теореме Пифагора: BC²+CB21=BB21=(2R)². Нужно доказать, что CB₁=AD. Дуга CB₁ стягивается углом ∠CBB₁. Дуга AD стягивается углом ∠ACD. ∠CBB₁=90^°-∠CB₁B=90^°-∠CAB (т.к. ∠CB₁B и ∠CAB опираются на дугу CB). ∠ACD=90^°-∠CAD? Нет, в △AKD угол ∠ADK=90^°-∠KAD. А ∠ACD опирается на дугу AD. В △CKD (∠CKD=90^°): ∠KCD=90^°-∠KDC=90^°-∠BDC. Сравним ∠CAB и ∠BDC. Они оба опираются на дугу BC. Значит, они равны. Следовательно, ∠CBB₁=∠ACD. Значит, дуга CB₁ = дуга AD, и хорда CB₁=AD. Тогда из △CBB₁: BC²+AD²=(2R)².

Проверка и вывод.

Мы доказали, что AB²+CD²=4R² и BC²+AD²=4R². Это подтверждает утверждение задачи: если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности. Логика построена на свойствах вписанных углов и теореме Пифагора, ошибок в рассуждениях не обнаружено.