ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 911: прямоугольный треугольник

План решения.

Для доказательства того, что луч BE является биссектрисой угла OBH, необходимо показать равенство углов: ∠OBE=∠EBH. Мы будем использовать свойства описанной окружности, вписанных и центральных углов, а также данные условия задачи (высота и биссектриса).

Ход доказательства.

1. Рассмотрим угол ∠EBH. Так как BH — высота треугольника ABC, то ∠BHC=90^°. В прямоугольном треугольнике BHC сумма острых углов равна 90^°, поэтому ∠HBC=90^°-∠C. Так как BE — биссектриса угла B, то ∠EBC=1/2∠B. Угол ∠EBH можно выразить как разность углов ∠EBC и ∠HBC (предполагая стандартное расположение, где биссектриса лежит между высотой и стороной BC, или используя модуль разности): ∠EBH=|∠EBC-∠HBC|=|∠B/2-(90^°-∠C)| Вспомним, что ∠A+∠B+∠C=180^°, откуда ∠B/2=90^°-∠A+∠C/2. Подставим это выражение: ∠EBH=|90^°-∠A+∠C/2-90^°+∠C|=|∠C-∠A/2|
2. Теперь рассмотрим угол ∠OBE. Точка E лежит на описанной окружности. Дуга AE соответствует вписанному углу ∠ABE, а дуга EC — вписанному углу ∠EBC. Так как BE — биссектриса, то ∠ABE=∠EBC, следовательно, дуги AE и EC равны. Это означает, что точка E является серединой дуги AC, не содержащей вершину B. Центральный угол ∠AOE опирается на дугу AE. Величина дуги AE равна удвоенному вписанному углу ∠ACE? Нет, проще через центральные углы. Дуга AC (не содержащая B) имеет градусную меру 2∠B. Но нам нужна связь с O. Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный (OA=OB=R). Более прямой путь: угол ∠OBE можно найти, если рассмотреть положение радиуса OB относительно высоты. Известно, что угол между радиусом, проведенным к вершине B, и высотой из этой же вершины равен разности прилежащих углов основания: ∠OBH=|∠A-∠C|. Докажем это кратко: ∠ABH=90^°-∠A. Угол ∠ABO в равнобедренном треугольнике AOB равен (180^°-∠AOB)/2. Центральный угол ∠AOB=2∠C. Значит, ∠ABO=(180^°-2∠C)/2=90^°-∠C. Тогда ∠OBH=|∠ABO-∠ABH|=|(90^°-∠C)-(90^°-∠A)|=|∠A-∠C|. Так как BE делит угол B пополам, а мы хотим доказать, что она делит пополам угол OBH, нужно проверить, проходит ли биссектриса угла B через середину угла OBH? Нет, задача утверждает, что луч BE является биссектрисой угла OBH. То есть ∠OBE=∠EBH. Мы нашли, что ∠EBH=|∠A-∠C|/2. Найдем ∠OBE. ∠OBE=∠OBA-∠EBA (или наоборот, в зависимости от расположения). ∠OBA=90^°-∠C (как показано выше). ∠EBA=∠B/2. Тогда ∠OBE=|(90^°-∠C)-∠B/2|. Выразим ∠B/2 через A и C: ∠B/2=180^°-∠A-∠C/2=90^°-∠A+∠C/2. Подставим: ∠OBE=|90^°-∠C-(90^°-∠A+∠C/2)|=|∠A+∠C/2-∠C|=|∠A-∠C/2|
3. Сравниваем полученные результаты: ∠EBH=|∠A-∠C|/2 ∠OBE=|∠A-∠C|/2 Следовательно, ∠OBE=∠EBH.

Проверка и вывод.

Мы показали, что величина угла между биссектрисой BE и высотой BH равна половине абсолютной разности углов A и C. Также мы показали, что величина угла между биссектрисой BE и радиусом OB равна той же самой величине. Поскольку луч BE находится внутри угла OBH (при условии, что треугольник не вырожден и углы различны), равенство этих углов доказывает, что BE делит угол OBH пополам. Таким образом, луч BE является биссектрисой угла OBH. Что и требовалось доказать.