ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 908: окружность
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла при этой вершине. Прямые образуют новый треугольник. Доказать, что его вершины лежат на прямых, содержащих биссектрисы исходного треугольника ABC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Нам нужно показать, что вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы исходного треугольника ABC. Для этого воспользуемся свойством перпендикулярности внутренних и внешних биссектрис угла. Если через вершину угла провести прямую, перпендикулярную внутренней биссектрисе, то эта прямая будет являться внешней биссектрисой данного угла (или прямой, её содержащей). Далее используем теорему о том, что внешние биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вневписанной окружности, который лежит на продолжении внутренней биссектрисы третьего угла.
Ход решения.
Рассмотрим произвольную вершину треугольника ABC, например, вершину A. Пусть lA — внутренняя биссектриса угла A. По условию задачи через вершину A проведена прямая mA, перпендикулярная lA (mA⊥lA).
Известно, что внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла взаимно перпендикулярны. Следовательно, прямая mA, проходящая через вершину A и перпендикулярная внутренней биссектрисе lA, совпадает с внешней биссектрисой угла A (или является частью прямой, содержащей эту внешнюю биссектрису).
Аналогично для вершин B и C: прямые mB и mC, проведенные по условию, являются внешними биссектрисами углов B и C соответственно.
Новый треугольник образован пересечением этих трех прямых: mA, mB и mC. Обозначим вершины нового треугольника как P=mB∩mC, Q=mA∩mC и R=mA∩mB.
Рассмотрим точку P. Она является точкой пересечения внешних биссектрис углов B и C. Согласно теореме о биссектрисах углов треугольника, внешние биссектрисы двух углов треугольника пересекаются в точке, которая лежит на прямой, содержащей внутреннюю биссектрису третьего угла. Таким образом, точка P лежит на прямой, содержащей внутреннюю биссектрису угла A (lA).
Аналогично:
- Точка Q (пересечение внешних биссектрис mA и mC) лежит на прямой, содержащей внутреннюю биссектрису угла B (lB).
- Точка R (пересечение внешних биссектрис mA и mB) лежит на прямой, содержащей внутреннюю биссектрису угла C (lC).
Проверка и вывод.
Мы доказали, что каждая вершина нового треугольника (P,Q,R) лежит на прямой, содержащей одну из внутренних биссектрис исходного треугольника ABC. Утверждение задачи выполнено.
Вершины нового треугольника являются точками пересечения внешних биссектрис углов исходного треугольника. По свойству биссектрис, точка пересечения двух внешних биссектрис лежит на прямой, содержащей внутреннюю биссектрису третьего угла. Следовательно, вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы исходного треугольника.
Задача требует знания свойств биссектрис углов треугольника. Ключевой момент: прямая, перпендикулярная внутренней биссектрисе в вершине угла, является внешней биссектрисой этого угла. Затем используется факт, что две внешние биссектрисы треугольника пересекаются на продолжении третьей внутренней биссектрисы.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 908 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 908?
Краткий ответ: Вершины нового треугольника являются точками пересечения внешних биссектрис углов исходного треугольника. По свойству биссектрис, точка пересечения двух внешних биссектрис лежит на прямой, содержащей внутреннюю биссектрису третьего угла. Следовательно, вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы исходного треугольника.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе IX.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.