ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 904: прямоугольный треугольник
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что для всех хорд AB данной окружности величина AB^2/AD (где AD — расстояние от точки A до касательной в точке B) имеет одно и то же значение.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства того, что отношение AB2/AD постоянно для любой хорды AB, необходимо выразить отрезок AD через элементы треугольника ABC, где C — точка на окружности, такая что BC является диаметром. Используем свойства вписанных углов и прямоугольных треугольников, опираясь на указание о равенстве искомого значения диаметру.
Вычисление и доказательство.
Пусть O — центр данной окружности, а R — её радиус. Рассмотрим произвольную хорду AB. Проведём диаметр BC, проходящий через точку B. Соединим точки A и C. Так как BC — диаметр, то угол △BAC (или точнее △CAB) является прямым: △CAB=90o, так как он опирается на полуокружность.
Рассмотрим касательную к окружности в точке B. По условию, AD — это расстояние от точки A до этой касательной. Значит, ADbot касательной в точке B. Также известно, что радиус OB перпендикулярен касательной в точке касания B. Следовательно, отрезок AD параллелен радиусу OB (и диаметру BC).
Обозначим угол между хордой AB и касательной в точке B как △ABD. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен половине дуги AB, которую он отсекает. Вписанный угол △ACB также опирается на дугу AB, поэтому △ACB=1/2дуга AB. Отсюда следует, что △ABD=△ACB.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник △ADB (угол при вершине D прямой, так как AD — расстояние до касательной). Из определения синуса угла △ABD имеем:
AD=ABtan(△ABD)Однако более удобно использовать подобие или тригонометрию в большом треугольнике △ABC. В прямоугольном △ABC (с прямым углом при A):
AB=BCtan(△ACB)Так как мы установили, что △ABD=△ACB, обозначим этот угол за △β. Тогда:
AD=ABtanβ AB=BCtanβ→tanβ=AB/BCПодставим выражение для tanβ в формулу для AD:
AD=ABAB/BC=AB2/BCОтсюда выразим искомое отношение:
AB2/AD=AB2/AB2/BC=BCТак как BC — это диаметр окружности, его длина постоянна и равна 2R.
Проверка.
Мы получили, что величина AB2/AD равна длине диаметра BC. Поскольку диаметр данной окружности не зависит от выбора конкретной хорды AB, значение отношения действительно постоянно для всех хорд. Это совпадает с указанием из ответа: величина равна диаметру.
Величина AB2/AD равна диаметру окружности.
Использовано свойство угла между касательной и хордой и связь с вписанным углом, опирающимся на ту же дугу. Через тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках получено равенство.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 904 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 904?
Краткий ответ: Величина AB^2AD равна диаметру окружности.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе IX.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.