ГДЗ по математике, 2 класс, Моро, номер p20.4: Рубль. Копейка

Чтобы выиграть, нужно первым назвать число 10. Значит, перед этим ходом соперник должен оставить тебе сумму, из которой ты можешь добавить 1 или 2, чтобы получить 10. Это значит, что на твоём предыдущем ходу должно быть названо число 7 (так как 7+3=10, но прибавлять можно только 1 или 2, поэтому если соперник оставил 8 или 9, ты выиграешь; а если он оставил 7, то после его хода сумма станет 8 или 9, и ты добавишь нужное число).

Более точный подход: чтобы гарантированно дойти до 10, нужно контролировать «ключевые» числа. Если ты хочешь сказать 10, тебе нужно, чтобы перед твоим ходом было 8 или 9. Но лучше думать от конца назад:

• Чтобы сказать 10, нужно, чтобы соперник оставил 8 или 9.
• Чтобы заставить соперника оставить 8 или 9, тебе нужно сказать 7. Тогда соперник скажет 8 (7+1) или 9 (7+2), и тыwins.
• Чтобы сказать 7, нужно, чтобы соперник оставил 5 или 6.
• Чтобы заставить соперника оставить 5 или 6, тебе нужно сказать 4. Тогда соперник скажет 5 (4+1) или 6 (4+2), и ты скажешь 7.
• Чтобы сказать 4, нужно, чтобы соперник оставил 2 или 3.
• Чтобы заставить соперника оставить 2 или 3, тебе нужно сказать 1. Тогда соперник скажет 2 (1+1) или 3 (1+2), и ты скажешь 4.

Однако в условии сказано: «Один называет любое число от 1 до 5» . Это первый ход. Второй игрок прибавляет 1 или 2.

Давай проверим, кто может выиграть при идеальной игре.

Первый игрок выбирает число x от 1 до 5.

Если первый игрок хочет выиграть, ему нужно попасть на ключевую последовательность. Ключевые числа для того, кто делает ход после оппонента, обычно кратны (max_add+min_add+1)? Нет, здесь шаг 1 или 2. Сумма пары ходов может быть 2,3,4. Это не фиксированная сумма.

Давай посмотрим на обратную индукцию проще:

• Цель: 10.
• Предпоследняя цель: 7 (если я сказал 7, соперник скажет 8 или 9, я скажу 10).
• Ещё раньше: 4 (если я сказал 4, соперник скажет 5 или 6, я скажу 7).
• Ещё раньше: 1 (если я сказал 1, соперник скажет 2 или 3, я скажу 4).

Последовательность выигрышных позиций для того, кто начинает серию ходов с этих чисел: 1→4→7→10.

Но первый ход — это просто называние числа от 1 до 5. Второй ход — прибавление 1 или 2 к первому.

Рассмотрим варианты первого игрока:

• Если первый игрок назовёт 1: второй игрок может прибавить 1 (получится 2) или 2 (получится 3). Ни 2, ни 3 не являются частью цепочки 1-4-7-10 для второго игрока так, чтобы он мог перехватить инициативу? Подождите. Цепочка 1,4,7,10 означает, что тот, кто произносит эти числа, имеет преимущество. Если первый игрок произнёс 1, он уже занял первую позицию. Теперь очередь второго игрока. Второй игрок прибавляет 1 или 2. Он получит 2 или 3. Затем первый игрок прибавляет 1 или 2. Он может получить 3,4,4,5. Если первый игрок сможет сказать 4, он займёт вторую ключевую позицию.

Давай смоделируем игру, где первый игрок играет оптимально.

Сценарий А: Первый игрок называет 1.

• Ход 1 (Игрок 1): 1.
• Ход 2 (Игрок 2): прибавляет 1 или 2. Пусть прибавит 1. Сумма 2. Или прибавит 2. Сумма 3.
• Ход 3 (Игрок 1): видит 2 или 3. Ему нужно добраться до 4. Если сумма 2, Игрок 1 прибавляет 2, получает 4. Если сумма 3, Игрок 1 прибавляет 1, получает 4. В любом случае Игрок 1 может сказать 4.
• Ход 4 (Игрок 2): видит 4. Прибавляет 1 или 2. Получает 5 или 6.
• Ход 5 (Игрок 1): видит 5 или 6. Ему нужно добраться до 7. Если 5, прибавляет 2→7. Если 6, прибавляет 1→7. Игрок 1 говорит 7.
• Ход 6 (Игрок 2): видит 7. Прибавляет 1 или 2. Получает 8 или 9.
• Ход 7 (Игрок 1): видит 8 или 9. Прибавляет 2 или 1 соответственно. Получает 10. Игрок 1 выигрывает.

Таким образом, если первый игрок начинает с 1, он может гарантировать себе все ключевые числа 4,7,10.

А что если первый игрок начнёт с другого числа?

• Если Игрок 1 назовёт 2: Игрок 2 может прибавить 2, получив 4. Теперь Игрок 2 занимает ключевую позицию 4. Далее Игрок 2 будет говорить 7 и 10. Выиграет Игрок 2.
• Если Игрок 1 назовёт 3: Игрок 2 может прибавить 1, получив 4. Опять же, Игрок 2 захватывает инициативу. Выиграет Игрок 2.
• Если Игрок 1 назовёт 4: Игрок 1 сам занял ключевое число 4. Но следующий ход у Игрока 2. Игрок 2 прибавит 1 или 2, получив 5 или 6. Игрок 1 попытается дойти до 7. Если 5, Игрок 1 прибавит 2→7. Если 6, Игрок 1 прибавит 1→7. Игрок 1 снова контролирует игру. Выиграет Игрок 1.
• Если Игрок 1 назовёт 5: Игрок 2 прибавит 2, получив 7. Игрок 2 займёт ключевое число 7. Следующий ход Игрока 1: 8 или 9. Ход Игрока 2: 10. Выиграет Игрок 2.

Выигрышная стратегия зависит от первого хода.

Ключевые числа, которые нужно произносить, чтобы гарантировать победу (при условии, что ты контролируешь ходы между ними): 1,4,7,10.

Если первый игрок называет 1, он может обеспечить себе произнесение чисел 4,7,10 независимо от действий второго игрока.

Если первый игрок называет 4, он уже произнёс одно из ключевых чисел. Далее он также может обеспечить себе 7 и 10.

Если первый игрок называет 2,3 или 5, второй игрок может своим первым ходом (прибавлением 1 или 2) попасть на ключевое число (4 или 7) и затем выиграть.

Таким образом, первый игрок может выиграть , если он правильно выберет начальное число (1 или 4). Если он выберет неудачное число, выиграть может второй игрок.

Обычно в таких задачах спрашивают, кто выигрывает при лучшей игре обоих игроков. Поскольку первый игрок может выбрать выигрышный вариант (1 или 4), считается, что выигрывает первый игрок .