ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 91: Изоморфные графы. Плоские и планарные графы
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Привести пример графа, который содержит цикл и имеет единственное остовное дерево.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи нужно понять определения: остовное дерево — это подграф, который содержит все вершины исходного графа и является деревом (связным и без циклов). Если у графа есть цикл, то удаление любого ребра из этого цикла даёт остовное дерево. Чтобы остовное дерево было единственным , в графе не должно быть выбора при удалении рёбер.
Шаг 1. Анализ условия «цикл» и «единственное остовное дерево»
Рассмотрим простой случай. Пусть граф состоит из одной вершины v и одного ребра, которое выходит из этой вершины и возвращается в неё же. Такое ребро называется петлёй .
- Наличие петли образует цикл длины 1 (или просто цикл, так как мы возвращаемся в ту же вершину).
- Вершин в графе одна (V={v}).
- Остовный подграф должен содержать эту единственную вершину.
Шаг 2. Построение остовного дерева для примера с петлёй
Дерево по определению не может содержать циклов и петель. Поэтому единственное возможное остовное дерево для графа с одной вершиной и петлёй — это сам набор вершин exttree={v} без рёбер.
Можно ли получить другое остовное дерево? Нет, потому что:
- Мы обязаны включить вершину v.
- Мы не можем оставить петлю, так как она создаёт цикл, а дерево циклов не имеет.
- Других рёбер нет.
Следовательно, остовное дерево единственно.
Шаг 3. Проверка на другом примере (треугольник)
Для сравнения возьмём обычный цикл из трёх вершин A,B,C с рёбрами (AB),(BC),(CA). Это тоже граф с циклом.
Чтобы получить остовное дерево, нам нужно удалить одно ребро:
- Удалим (AB): останется путь C-A и C-B? Нет, останутся рёбра (BC) и (CA), соединяющие B-C-A. Это дерево.
- Удалим (BC): останутся (AB) и (CA). Это другое дерево.
- Удалим (CA): останутся (AB) и (BC). Это третье дерево.
Здесь остовных деревьев три, значит, условие «единственное» не выполняется. Пример с петлёй подходит лучше всего, так как он тривиален и строго соответствует определению.
Ответ
Примером такого графа является граф, состоящий из одной вершины и одной петли на ней.
Граф из одной вершины с петлёй.
Задача требует привести пример. Ключ указывает на петлю. Граф с одной вершиной и петлёй содержит цикл (петля считается циклом в теории графов, особенно когда речь идёт о связности и остовных деревьях, где петля всегда удаляется). Остовное дерево для такой вершины — это сама вершина без рёбер. Других вариантов нет.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 91 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 91?
Краткий ответ: Граф из одной вершины с петлёй.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Изоморфные графы. Плоские и планарные графы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.