ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 86: Изоморфные графы. Плоские и планарные графы
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Роман Жуков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Определите наименьшее число частей, на которые придётся разрезать проволоку, чтобы спаять из неё каркас куба (рисунок 47).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи нужно определить минимальное количество непрерывных кусков проволоки, из которых можно собрать каркас куба. Каждый кусок проволоки представляет собой путь в графе, который является каркасом куба.
Шаг 1. Анализ структуры графа (каркаса куба)
Рассмотрим каркас куба как граф. У куба есть вершины и рёбра:
- Количество вершин: 8.
- Количество рёбер: 12.
В каждой вершине куба сходятся ровно 3 ребра. Это означает, что степень каждой вершины равна 3. Поскольку 3 — нечётное число, все 8 вершин куба являются нечётными .
Шаг 2. Связь между нечётными вершинами и количеством путей
Каждый непрерывный кусок проволоки образует путь в графе. Концы такого пути должны находиться в вершинах, где этот путь начинается или заканчивается.
- Если путь проходит через вершину «сквозь» (входит по одному ребру и выходит по другому), то он использует 2 ребра этой вершины. Если путь входит и выходит ещё раз, используется ещё 2 ребра. Таким образом, внутренние точки пути всегда имеют чётную степень участия в этом конкретном пути.
- Концы пути используют только одно ребро данной вершины для начала или конца движения. Следовательно, концы пути соответствуют вершинам с нечётной степенью в рамках этого пути.
Важное свойство теории графов: любой путь имеет ровно два конца (или ноль, если это замкнутый цикл). Значит, один кусок проволоки может «покрыть» максимум две нечётные вершины всего графа (как свои начало и конец).
Шаг 3. Расчёт минимального числа частей
У нас есть 8 нечётных вершин. Каждый кусок проволоки может соединить максимум 2 из них (быть началом в одной и концом в другой).
Чтобы покрыть все 8 нечётных вершин, нам потребуется:
8/2=4 частиТаким образом, теоретически необходимо минимум 4 куска проволоки.
Шаг 4. Проверка возможности сборки за 4 части
Нужно убедиться, что каркас действительно можно разбить на 4 пути, которые покрывают все 12 рёбер без пропусков и повторений (так как мы паяем каркас, каждое ребро должно быть представлено ровно один раз в сумме всех путей).
Разобьём 8 вершин на 4 пары. Например, пусть каждая пара — это противоположные вершины куба (диагонально удалённые). Можно ли найти 4 непересекающихся по рёбрам пути, соединяющие эти пары?
Да, это возможно. Например:
- Путь 1: соединяет вершины A и G (противоположные) через три ребра.
- Путь 2: соединяет вершины B и H через три ребра.
- Путь 3: соединяет вершины C и E через три ребра.
- Путь 4: соединяет вершины D и F через три ребра.
При правильном выборе маршрутов эти 4 пути будут использовать все 12 рёбер куба ровно по одному разу. Длина каждого пути составляет 3 ребра (3+3+3+3=12).
Ответ
Проволоку придётся разрезать на 4 части.
На 4
Задача сводится к поиску минимального числа путей, покрывающих все рёбра графа. Так как у куба 8 вершин нечётной степени, а каждый путь имеет 2 конца (вершины нечётной степени), минимальное число путей равно 8/2 = 4.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 86 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 86?
Краткий ответ: На 4.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Изоморфные графы. Плоские и планарные графы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.