ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 81: Изоморфные графы. Плоские и планарные графы
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
На клетчатом листе закрашено 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседних клеток?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи воспользуемся методом подсчёта рёбер в графе. Представим закрашенные клетки как вершины графа, а соседство клеток (по стороне) — как рёбра этого графа.
Шаг 1. Связь между степенями вершин и количеством рёбер
В теории графов существует фундаментальное утверждение: сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству его рёбер. Если обозначить количество вершин через n, а количество рёбер через m, то:
∑ni=1di=2mгде di — степень i-й вершины (число соседей у данной клетки).
Шаг 2. Анализ чётности суммы степеней
Поскольку правая часть равенства (2m) всегда является чётным числом (так как любое целое число, умноженное на 2, даёт чётный результат), то и левая часть — сумма степеней всех вершин — должна быть чётной.
Рассмотрим условие задачи: каждая из 25 клеток имеет нечётное число закрашенных соседей. Это означает, что степень каждой из 25 вершин является нечётным числом.
Шаг 3. Проверка возможности существования такого графа
Нам нужно просуммировать 25 нечётных чисел. Вспомним свойства сложения нечётных чисел:
- Сумма двух нечётных чисел — чётная.
- Сумма трёх нечётных чисел — нечётная.
- Вообще, сумма нечётного количества нечётных слагаемых всегда даёт нечётное число.
Так как количество клеток (вершин) равно 25, а это нечётное число, то сумма их степеней будет нечётной.
Однако, согласно Шагу 1, эта сумма должна быть равна 2m, то есть быть чётной. Получаем противоречие: сумма не может быть одновременно и чётной, и нечётной.
Шаг 4. Вывод
Противоречие доказывает, что невозможно раскрасить 25 клеток так, чтобы у каждой было нечётное число соседей среди закрашенных клеток.
Нет
Задача решается через теорему о рукопожатиях (сумма степеней вершин четна). Так как вершин 25 (нечетное число) и каждая имеет нечетную степень, то сумма степеней нечетна, что невозможно для любого графа.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 81 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 81?
Краткий ответ: Нет.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Изоморфные графы. Плоские и планарные графы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.