ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 88: Изоморфные графы. Плоские и планарные графы
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы суммы номеров рёбер, сходящихся в каждой вершине, были одинаковыми?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного. Нам нужно определить, существует ли такая нумерация рёбер куба числами от 1 до 12, при которой суммы номеров рёбер в каждой вершине равны между собой.
Шаг 1. Анализ структуры графа и сумм
Куб имеет 8 вершин и 12 рёбер. В каждой вершине сходятся ровно 3 ребра. Предположим, что нам удалось занумеровать все рёбра так, чтобы сумма номеров трёх рёбер, выходящих из любой вершины, была одинаковой. Обозначим эту общую сумму через S.
Если мы сложим значения S для всех восьми вершин куба, то получим величину 8S. С другой стороны, давайте посмотрим, как каждый номер ребра участвует в этом общем подсчёте. Каждое ребро соединяет две вершины. Следовательно, номер каждого ребра входит в сумму для одной вершины и в сумму для другой вершины. Таким образом, при сложении всех вершинных сумм каждый номер ребра учитывается ровно дважды.
Шаг 2. Вычисление общей суммы номеров рёбер
Нам дано множество номеров: натуральные числа от 1 до 12. Найдём их арифметическую сумму:
∑12k=1k=1+2+3+…+12Используем формулу суммы арифметической прогрессии или просто посчитаем:
1+2+…+12=(1+12)·12/2=13·12/2=13·6=78Следовательно, сумма всех номеров рёбер равна 78.
Шаг 3. Составление уравнения и проверка на целочисленность
Как было установлено в первом шаге, сумма всех вершинных сумм (8S) равна удвоенной сумме всех номеров рёбер. Запишем это равенство:
8S=2×(сумма номеров всех рёбер) 8S=2×78 8S=156Теперь выразим S:
S=156/8Выполним деление:
S=19,5Шаг 4. Противоречие и вывод
Мы получили, что искомая сумма S должна быть равна 19,5. Однако по условию задачи номера рёбер — это целые числа (натуральные). Сумма нескольких целых чисел всегда является целым числом. Значит, S обязано быть целым числом.
Полученное значение 19,5 не является целым числом. Это противоречие показывает, что наше первоначальное предположение о возможности такой нумерации неверно.
Нет, нельзя.
Задача решается через подсчёт двойной суммы. Ключевой момент: каждое ребро входит в две вершины, поэтому сумма всех вершинных сумм равна 2 * (сумма всех номеров). Сумма чисел от 1 до 12 равна 78. Удвоенная сумма 156 не делится на количество вершин (8) без остатка (156/8 = 19.5), что невозможно для сумм целых чисел.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 88 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 88?
Краткий ответ: Нет, нельзя.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Изоморфные графы. Плоские и планарные графы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.