ГДЗ по физике, 10 класс, Касьянов, номер 27.5: Кинетическая энергия

Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Точки на экваторе имеют наибольшую линейную скорость вращения v_з =ωR, где R — радиус Земли.

Если мы запускаем спутник вдоль экватора в сторону вращения Земли , то начальная скорость спутника относительно поверхности равна скорости запуска u. Однако относительно центра Земли полная скорость спутника будет складываться из скорости вращения самой планеты и скорости запуска:

Так как векторы скоростей направлены в одну сторону, модуль полной скорости максимален при заданной скорости запуска u.

Меридиан проходит через полюса. В любой точке земной поверхности (кроме полюсов) есть скорость вращения вокруг оси Земли. Однако направление этой скорости перпендикулярно направлению движения по меридиану (север-юг).

При запуске спутника вдоль меридиана его скорость относительно центра Земли является векторной суммой скорости вращения точки старта (v_з′) и скорости запуска (u). Поскольку эти векторы перпендикулярны друг другу, модуль полной скорости вычисляется по теореме Пифагора:

Здесь v_з′ зависит от широты, но даже если брать максимальное значение на экваторе (v_з′=v_з), то v₂=u²+v2з.

Сравним квадраты полных скоростей, так как энергия пропорциональна v²:

• Для экватора: v21=(u+v_з)²=u²+2uv_з +v2з
• Для меридиана: v22=u²+v2з (при старте с экватора, что даёт верхнюю границу для меридиана)

Очевидно, что u²+2uv_з +v2з >u²+v2з при положительных u и v_з. Следовательно, v₁>v₂.

Поскольку кинетическая энергия E_k=mv²/2, то чем больше полная скорость относительно инерциальной системы отсчёта, тем больше требуется энергии для разгона до этой скорости (если рассматривать работу сил тяги против сопротивления или просто запасенную энергию).

Примечание: На практике запуск вдоль экватора выгоднее именно потому, что ракета уже имеет начальную скорость вращения Земли, и ей нужно добавить меньше энергии, чтобы достичь орбитальной скорости. Но вопрос задачи звучит иначе: «В каком случае требуется бо́льшая энергия...». Если под «требуемой энергией» понимать полную кинетическую энергию, которую должен иметь спутник на орбите, то она одинакова для круговой орбиты одного радиуса. Однако обычно в таких школьных задачах подразумевается работа двигателя или изменение кинетической энергии при разгоне с поверхности.

Давайте переформулируем строго физически: Чтобы вывести спутник на орбиту, ему нужно сообщить определенную полную механическую энергию. Скорость вращения Земли помогает нам. При запуске вдоль экватора мы «получаем» часть скорости бесплатно от вращения. При запуске вдоль меридиана мы не можем использовать эту скорость эффективно для увеличения орбитальной скорости в нужном направлении (она перпендикулярна траектории или уменьшает полезную составляющую). Но давайте посмотрим на формулировку «требуется бо́льшая энергия». Это часто означает работу силы тяги. Работа силы тяги A=ΔE_k. Начальная кинетическая энергия спутника на старте равна E_k0=mv2rot/2. Конечная энергия на орбите E_k1. Разница E_k1-E_k0 должна быть совершена двигателем. На экваторе v_rot максимально. Значит, начальная энергия выше. Конечная энергия на круговой орбите фиксирована радиусом. Следовательно, разность энергий (работа двигателя) будет меньше при запуске с экватора, так как мы стартуем с более высокой начальной энергией. И наоборот, при запуске вдоль меридиана (особенно с высоких широт или если учитывать векторное сложение), эффективная начальная скорость в направлении движения меньше, либо её вклад в итоговую орбитальную скорость не используется полностью. Поэтому двигателю нужно совершить бо́льшую работу , чтобы разогнать спутник до той же орбитальной скорости.

Таким образом, энергия, которую нужно затратить (сообщить спутнику сверх того, что он уже имеет от вращения), больше при запуске вдоль меридиана.