ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 105.4

План решения

Для нахождения ёмкости сферического конденсатора воспользуемся определением электрической ёмкости: C=q/U, где q — модуль заряда на обкладках, а U — разность потенциалов между ними. Нам необходимо выразить разность потенциалов через заряд и геометрические параметры системы (R₁ и R₂), используя формулу потенциала точечного заряда или заряженного шара.

Вычисление

Предположим, что внутренняя сфера имеет радиус R₁ и несёт заряд +q, а внешняя сфера имеет радиус R₂ и несёт заряд -q. Потенциал в любой точке пространства внутри слоя между сферами (на расстоянии r от центра, где R₁<r<R₂) складывается из потенциалов двух сферически симметричных распределений заряда. Согласно принципу суперпозиции:

φ(r)=1/4πε₀(q/r-q/R₂)

Здесь первый член соответствует вкладу внутренней сферы (как будто весь её заряд сосредоточен в центре для точек снаружи неё), а второй член — постоянному потенциалу внешней сферы относительно бесконечности (для точек внутри внешней сферы потенциал создаётся как -q/R₂).

Разность потенциалов между обкладками равна:

U=φ(R₁)-φ(R₂)

Подставим значения:

φ(R₁)=1/4πε₀(q/R₁-q/R₂) φ(R₂)=1/4πε₀(q/R₂-q/R₂)=0 *(Примечание: потенциал внешней сферы относительно себя же равен нулю в рамках этой разности, либо можно считать, что мы находим разность потенциалов непосредственно интегрированием поля).*

Более строгий путь через напряжённость поля E:

Напряжённость поля между сферами определяется только зарядом внутренней сферы (по теореме Гаусса):

E=q/4πε₀r²

Разность потенциалов равна интегралу напряжённости от R₁ до R₂:

U=intR₂R₁E dr=intR₂R₁q/4πε₀r² dr=q/4πε₀[-1/r]R₂R₁=q/4πε₀(1/R₁-1/R₂)

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

1/R₁-1/R₂=R₂-R₁/R₁R₂

Тогда:

U=q/4πε₀·R₂-R₁/R₁R₂

Находим ёмкость:

C=q/U=q/q(R₂-R₁)/4πε₀R₁R₂=4πε₀R₁R₂/R₂-R₁

Проверка

Проверим размерность и предельные случаи. Если расстояние между сферами d=R₂-R₁ очень мало по сравнению с радиусами (R₁≈R₂≈R), то формула превращается в C≈4πε₀R²/d. Это совпадает с формулой ёмкости плоского конденсатора C=ε₀S/d, где площадь пластин S=4πR². Результат верен.