ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 46.3: Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения

План решения:

Для ответа на вопрос необходимо вспомнить определение второй космической скорости и формулу для её расчёта. Вторая космическая скорость — это минимальная начальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности небесного тела (в данном случае Земли), чтобы оно преодолело силы тяготения и покинуло его навсегда. Формула для вычисления этой скорости имеет вид: v₂=2GM/R, где G — гравитационная постоянная, M — масса планеты, а R — расстояние от центра планеты до точки запуска.

Вычисление и анализ:

В условии задачи сказано, что ракета запускается из глубокой шахты. Это означает, что точка старта находится ниже уровня поверхности Земли. Следовательно, расстояние от центра Земли до ракеты в момент запуска (r) будет меньше радиуса Земли (R). Подставим новое расстояние в формулу: v₂′=2GM/r. Поскольку r<R, то знаменатель под корнем уменьшается, а всё выражение возрастает. Таким образом, значение требуемой скорости увеличивается.

Проверка и вывод:

С физической точки зрения это логично: находясь глубже в гравитационном поле планеты, тело обладает большей потенциальной энергией связи с ней (или требует больше энергии для преодоления притяжения всех слоёв планеты выше него, если рассматривать модель однородной сферы, но в школьной физике обычно используют упрощенную модель точечной массы или внешней оболочки, где внутри сферы сила тяжести меняется сложнее, однако стандартный подход к задаче про «шахту» предполагает сравнение расстояний до центра масс как источника поля в первом приближении или учет того, что для выхода наружу нужно совершить работу против силы тяжести на пути от дна шахты до бесконечности).

Более строгий школьный подход опирается на закон сохранения энергии. Чтобы улететь с расстояния r, нужно сообщить энергию E=GMm/r. При запуске с поверхности (R) энергия равна GMm/R. Так как r<R, то 1/r>1/R, значит, требуется большая начальная кинетическая энергия, а следовательно, и большая скорость.