ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 20.4

План решения:

В задаче требуется найти отношение энергий магнитного и электрического полей в LC-контуре в конкретный момент времени t=T/6. Поскольку в начальный момент (t=0) сила тока равна нулю, это означает, что конденсатор заряжен максимально, а энергия сосредоточена в электрическом поле. Нам нужно записать уравнения для мгновенных значений заряда q(t) и тока i(t), вычислить соответствующие энергии W_e и W_m и найти их отношение.

Вычисление:

Так как при t=0 ток равен нулю, колебания начинаются с максимального заряда на конденсаторе. Уравнение изменения заряда во времени имеет вид косинуса:

где q₀ — амплитуда заряда, ω=2π/T — циклическая частота.

Энергия электрического поля конденсатора пропорциональна квадрату заряда:

Сила тока является производной от заряда по времени (i=-dq/dt). Амплитуда тока I₀=q₀ω. Мгновенное значение тока:

Энергия магнитного поля катушки пропорциональна квадрату тока:

Нам нужно найти отношение W_m/W_e в момент времени t=T/6. Сначала определим фазу колебаний ωt:

Подставим это значение в выражения для энергий. Заметим, что полная энергия контура W_total=W_e+W_m постоянна. Однако проще сразу составить отношение:

Используем связь между параметрами контура: ω²=1/LC, откуда L=1/ω²C. Также помним, что I₀=q₀ω. Подставим L и I₀ в числитель:

Теперь отношение упрощается до отношения тригонометрических функций:

Вычислим значения тригонометрических функций для угла π/3 (60^°):

Проверка:

В момент t=0 заряд максимален, ток нулевой, значит W_m=0, W_e=W_max, отношение равно 0. В момент t=T/4 заряд обнуляется, ток максимален, W_e=0, отношение стремится к бесконечности. Момент t=T/6 находится между этими точками, ближе к максимуму тока, чем к максимуму заряда? Нет, T/6 соответствует фазе 60^°. При фазе 45^° (T/8) энергии равны. Так как 60^°>45^°, синус больше косинуса, следовательно, магнитная энергия должна быть больше электрической. Полученное число 3 подтверждает это (W_m=3W_e).