ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 52.6: Примеры решения задач по теме «Линзы»

План решения.

Для определения диаметра пятна на экране необходимо сначала найти положение чёткого изображения светящейся точки относительно линзы. Затем нужно вычислить расстояние от экрана до плоскости этого изображения (так как экран находится в другой точке). Зная диаметр линзы и расстояния, можно использовать подобие конусов лучей, исходящих из точки изображения и проходящих через края линзы, чтобы найти размер пятна на экране.

Вычисления.

1. Найдём расстояние до изображения v по формуле тонкой линзы:

Подставим данные: F=20 см, d=30 см.

Отсюда v=60 см. Изображение получается действительным и находится на расстоянии 60 см от линзы с противоположной стороны от предмета.

2. Определим положение экрана. В условии сказано, что размытость не превышает 0,1 мм. Обычно под «размытостью» в таких задачах подразумевается минимальный диаметр круга рассеяния, при котором изображение ещё считается достаточно резким, или же это указание на то, что экран установлен так близко к изображению, что пятно имеет определённый размер. Однако более вероятная интерпретация школьной задачи: экран стоит там, где мы хотим получить изображение, но из-за того, что он не точно в фокусе, образуется пятно. Но здесь дано ограничение «размытость не превышает 0,1 мм». Это значение очень мало по сравнению с диаметром линзы (30 мм) и расстояниями (десятки см).

Давайте пересмотрим условие. Часто в таких задачах «размытость» — это величина допускаемого диаметра пятна, если бы экран стоял идеально? Нет. Скорее всего, речь идёт о том, что экран установлен на таком расстоянии, что диаметр пятна равен заданной величине? Или же нам нужно найти диаметр пятна при условии, что экран стоит в месте, где размытость *минимальна*?

Перечитаем внимательно: «Найти диаметр пятна на экране, если размытость не превышает 0,1 мм...». Формулировка немного странная для поиска диаметра пятна, если само пятно и есть мера размытости. Вероятно, имеется в виду, что экран установлен так, что диаметр пятна (который и является мерой размытости) равен 0,1 мм? Если так, то ответ сразу 0,1 мм. Но тогда зачем давать диаметр линзы?

Другая интерпретация: Экран находится на фиксированном расстоянии? Нет, расстояние до экрана не дано явно, кроме как через понятие размытости.

Рассмотрим стандартную задачу такого типа: Светящаяся точка даёт изображение в точке S′. Если экран поставить не в точку S′, а на некотором расстоянии β от неё, то на экране получится круглое пятно. Диаметр пятна D_пятна связан с диаметром линзы D_линзы и расстоянием β соотношением из подобия треугольников:

где v — расстояние от линзы до идеального изображения (60 см), а β — расстояние от идеального изображения до экрана.

В условии сказано: «размытость не превышает 0,1 мм». В оптике термин «размытость» часто отождествляют с диаметром круга рассеяния. Если предположить, что нас просят найти диаметр пятна при условии, что оно соответствует этой границе «непревышения», то есть диаметр пятна D_пятна =0,1 мм? Тогда вопрос тривиален.

Однако, возможно, опечатка в условии или специфическая трактовка. Давайте посмотрим на числа. D_линзы =3 см =30 мм. v=60 см =600 мм.

Если диаметр пятна d_spot равен 0,1 мм, то расстояние от экрана до фокуса β было бы:

Это физически осмысленно. Экран может быть смещён на 2 мм от положения чёткого изображения.

Но вопрос звучит: «Найти диаметр пятна... если размытость не превышает 0,1 мм». Это может означать, что 0,1 мм — это допустимое значение, и мы должны найти реальный диаметр, который, вероятно, и есть это значение, либо задача требует найти диаметр при другом условии.

Есть ещё вариант: «Размытость» — это глубина резкости? Нет.

Попробуем другую логику. Может быть, экран стоит на расстоянии, равном чему-то другому? Нет данных.

Самый вероятный смысл задачи в контексте учебников: Нам дан параметр качества изображения («размытость не превышает 0,1 мм»), который фактически и является искомой величиной диаметра пятна, если экран установлен оптимально или если это граничное условие. Но зачем тогда спрашивать «Найти диаметр»? Возможно, в условии подразумевается, что экран установлен на расстоянии L от линзы, которое не указано, но связано с размытостью?

Давайте рассмотрим возможность, что «размытость» — это линейное смещение экрана от фокуса? Нет, единицы измерения мм подходят для размера.

Проверим похожие задачи. Часто встречается формулировка: «Экран удалён от линзы на расстояние X. Найти диаметр пятна». Здесь X нет.

Может быть, экран находится на расстоянии, равном сумме чего-то?

Предположим, что задача содержит скрытый смысл: «размытость не превышает 0,1 мм» означает, что мы рассматриваем случай, когда диаметр пятна равен этому пределу. То есть ответом является само число 0,1 мм. Но это слишком просто.

Альтернатива: Возможно, опечатка в слове «размытость», и имелось в виду «расстояние от экрана до линзы равно ...»? Без этого числа задача нерешаема в классическом виде (нужно знать положение экрана).

Однако, давайте посмотрим на соотношение размеров. Линза большая (3 см), фокусное расстояние среднее (20 см). Точка источника света бесконечно мала. Пятно формируется только из-за расфокусировки.

Если принять, что «размытость» — это синоним «диаметра пятна», то условие «диаметр пятна не превышает 0,1 мм» ограничивает возможное положение экрана. Но вопрос «Найти диаметр пятна» предполагает единственное значение.

Единственный способ получить конкретное число, отличное от 0,1 мм, — если 0,1 мм — это не диаметр пятна, а, например, смещение экрана β? Если β=0,1 мм, то:

Это очень маленькое число.

Если же 0,1 мм — это диаметр пятна, то ответ 0,1 мм.

Давайте поищем источник задачи. Задача 52.6 из сборника задач по физике (возможно, Рымкевич или аналогичный). В некоторых версиях условия может быть: «экран расположен на расстоянии 60 см от линзы» (тогда пятно точечное, диаметр 0) или «на расстоянии 61 см».

Без явного указания положения экрана, фраза «размытость не превышает 0,1 мм» скорее всего является описанием результата или ограничения. Но так как требуется найти диаметр, и других данных нет, наиболее логичным (хотя и подозрительно простым) выводом является то, что искомый диаметр и есть эта предельная размытость, либо задача подразумевает расчёт диаметра пятна, создаваемого дифракцией? Нет, для линзы 3 см дифракция пренебрежимо мала.

Рассмотрим вариант, что экран стоит в месте, где геометрическая оптика даёт пятно размером 0,1 мм. Тогда ответ: 0,1 мм.

Но давайте проверим ещё одну гипотезу. Может быть, «размытость» — это величина b (смещение экрана), выраженная в мм? Если b=0.1 мм, то D=0.005 мм. Если D=0.1 мм, то b=2 мм.

В школьных задачах термин «размытость» почти всегда относится к диаметру круга рассеяния. Условие «не превышает» задаёт верхнюю границу. Если система настроена так, что размытость максимальна допустимая, то диаметр равен 0,1 мм.

Однако, есть нюанс. Иногда под «размытостью» понимают глубину резкости. Но она измеряется в длинах вдоль оси.

Примем самое прямое толкование: Искомый диаметр пятна равен указанному пределу размытости, так как других координат экрана нет. Но это выглядит как ловушка.

Давайте попробуем найти решение, где используется диаметр линзы. Он нужен только для связи между смещением экрана и размером пятна. Если смещение неизвестно, а размер известен, то линза лишняя информация? Или наоборот, если смещение известно (как размытость?), то линза нужна.

Если предположить, что «размытость 0,1 мм» — это смещение экрана от фокуса (β=0.1 мм), то:

Такой ответ маловероятен для школьного курса (слишком мелкий).

Если предположить, что «размытость» — это диаметр пятна (D=0.1 мм), то ответ 0,1 мм. Зачем тогда давать диаметр линзы? Чтобы проверить, понимает ли ученик, что пятно зависит от диафрагмы? Или чтобы рассчитать, насколько далеко можно отодвинуть экран? Но вопрос именно «Найти диаметр».

Вероятно, в оригинальном источнике было другое число или условие. Например: «Экран удалён от линзы на 62 см». Тогда β=2 см =20 мм. D=30·20/600=1 мм.

Или: «Экран удалён на 60.2 см». β=2 мм. D=30·2/600=0.1 мм.

Ага! Вот ключ. Если бы экран был смещён на 2 мм, диаметр пятна составил бы ровно 0,1 мм. Возможно, в условии опущено слово «при смещении экрана на 2 мм»? Или же условие «размытость не превышает 0,1 мм» является следствием какого-то другого параметра?

Нет, давайте читать буквально. «Найти диаметр пятна... если размытость не превышает 0,1 мм». Это утверждение о состоянии системы. Если система удовлетворяет условию «размытость <= 0.1 мм», то максимальный диаметр пятна равен 0,1 мм. В задачах такого типа часто ищут предельные значения. Поэтому ответ 0,1 мм.

Но почему дан диаметр линзы? Возможно, чтобы исключить дифракцию? Или это отвлекающий фактор? Или задача составлена некорректно/неполно в данном пересказе.

Тем не менее, строго следуя логике: Размытость = Диаметр пятна. Условие: Диаметр пятна <= 0,1 мм. Вопрос: Найти диаметр пятна. Ответ: 0,1 мм (как предельное значение).

Однако, есть другая трактовка. Может быть, «размытость» — это ошибка в переводе термина «blur circle diameter»? Да.

Давайте напишем решение, исходя из того, что искомый диаметр равен заданной величине размытости, так как иных данных о положении экрана нет. Диаметр линзы в этом случае не влияет на ответ напрямую, если ответ уже задан как «размытость», но влияет на допустимое смещение экрана.

Корректировка: Посмотрев на структуру подобных задач, иногда «размытость» может означать величину x, на которую экран смещён от фокуса, но выражена она в мм. Если x=0.1 мм, то D=0.005 мм. Если D=0.1 мм, то x=2 мм.

Учитывая, что 0,1 мм — это типичный порог человеческой зрительной резкости (или критерий приемлемости изображения), скорее всего, речь идёт о диаметре пятна. То есть нам говорят: «Изображение должно быть таким, чтобы пятно было не больше 0,1 мм. Каков диаметр пятна?» Ответ: 0,1 мм.

Но это тавтология. Есть вероятность, что в условии пропущено расстояние до экрана. Например, «экран находится на расстоянии 60 см от линзы» -> пятно 0. «Экран на 61 см» -> пятно 0.5 мм.

Так как я не могу выдумывать данные, я должен решить строго по тексту. Текст связывает диаметр пятна с понятием размытости. В оптике эти термины эквивалентны для точки. Следовательно, диаметр пятна равен 0,1 мм.

Диаметр линзы (3 см) и фокусное расстояние (20 см) позволяют рассчитать, что такое пятно достигается при смещении экрана на 2 мм от фокуса. Это подтверждает физическую реализуемость ситуации.

Проверка.

Расстояние до изображения v=60 см. Диаметр линзы D_L=3 см. Допустимый диаметр пятна d_p=0.1 мм =0.01 см.

Из подобия треугольников: d_p/D_L=Δx/v, где Δx — смещение экрана от фокуса.

Δx=v·d_p/D_L=60·0.01/3=60·0.00333...=0.2 см =2 мм.

Смещение в 2 мм вполне реально и не противоречит условиям. Таким образом, ответ согласуется с данными линзы.