ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 257: Правильная пирамида
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Высота правильной треугольной пирамиды равна h, двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найти площадь поверхности пирамиды.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения площади поверхности правильной треугольной пирамиды необходимо вычислить площадь основания и сумму площадей боковых граней. Ключевым элементом является связь между высотой пирамиды h, двугранным углом при стороне основания и линейными размерами пирамиды (стороной основания a и апофемой l). Мы используем свойства правильного треугольника и прямоугольных треугольников, образованных высотой пирамиды, апофемой и отрезком в основании.
Вычисление.
Пусть SABC — правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Пусть O — центр основания (одновременно центроид и инцентр), M — середина стороны BC. Тогда SO=h — высота пирамиды, SM=l — апофема боковой грани, а OM — расстояние от центра до стороны основания.
Угол SMO является линейным углом двугранного угла при ребре BC. По условию △SMO — прямоугольный (extугол SOM=90°) и extугол SMO=45°. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, поэтому:
OM=SO·cot(45°)=h·1=h SM=SO/sin(45°)=h/2/2=h2Теперь найдем сторону основания a. В правильном треугольнике ABC радиус вписанной окружности r равен расстоянию от центра до стороны, то есть r=OM=h. Связь между стороной a и радиусом вписанной окружности r для правильного треугольника выражается формулой:
r=a3/6impliesa=6r/3=2r3Подставляя r=h, получаем:
a=2h3Найдем площадь основания Sосн:
Sосн =a23/4=(2h3)23/4=12h23/4=3h23Найдем площадь одной боковой грани Sбок гр. Это треугольник со стороной a и высотой l=SM=h2:
Sбок гр =1/2·a·l=1/2·(2h3)·(h2)=h26Так как пирамида правильная, все три боковые грани равны. Площадь боковой поверхности Sбок:
Sбок =3·Sбок гр =3h26Полная площадь поверхности Sполн равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
Sполн =Sосн +Sбок =3h23+3h26Вынесем общий множитель 33h2:
Sполн =33h2(1+2)Проверка.
Размерность ответа: h2 соответствует площади, что верно. Коэффициенты положительны. При увеличении высоты h площадь должна расти квадратично, что наблюдается в формуле. Сравним с ключом: полученное выражение 33(1+2)h2 совпадает с ориентировочным ответом из учебника. Логика вывода через свойства равнобедренного прямоугольного треугольника SMO и связи радиуса вписанной окружности со стороной правильного треугольника корректна.
3\sqrt{3}(1 + \sqrt{2})h2
Использовано свойство двугранного угла 45°, делающего треугольник, образованный высотой, апофемой и апотемой основания, равнобедренным. Найдена сторона основания через радиус вписанной окружности.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 257 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 257?
Краткий ответ: 3√3(1 + √2)h^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 33. Правильная пирамида.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.